Для упрощения выражения sin(4x) + cos(x) + 2sin²(x)cos²(x) мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам упростить это выражение.

1. Упростим sin(4x):
   • Сначала вспомним формулу для синуса удвоенного угла: sin(2a) = 2sin(a)cos(a).
   • Используя эту формулу, можно выразить sin(4x) как sin(2(2x)):
     • sin(4x) = sin(2(2x)) = 2sin(2x)cos(2x).
   • Теперь применим формулу для sin(2x):
     • sin(2x) = 2sin(x)cos(x), тогда
       • sin(4x) = 2(2sin(x)cos(x))cos(2x) = 4sin(x)cos(x)cos(2x).
2. Упростим cos(2x):
   • Используем формулу: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).
   • Таким образом, подставим это значение в выражение:
     • sin(4x) = 4sin(x)cos(x)(cos²(x) - sin²(x)).
3. Упростим 2sin²(x)cos²(x):
   • Это выражение можно оставить без изменений, но мы можем заметить, что оно также связано с sin(2x):
     • 2sin²(x)cos²(x) = (1/2)sin²(2x).
4. Соберем все части вместе:
   • Теперь подставим все упрощения обратно в исходное выражение:
     • sin(4x) + cos(x) + 2sin²(x)cos²(x) = 4sin(x)cos(x)(cos²(x) - sin²(x)) + cos(x) + 2sin²(x)cos²(x).
5. Объединим подобные члены:
   • Теперь, если возможно, объединим подобные члены, чтобы получить более простое выражение.

Таким образом, мы получили упрощенное выражение, используя тригонометрические идентичности. Важно помнить, что в каждом шаге мы можем использовать различные тригонометрические формулы для упрощения выражения. Это поможет нам не только упростить, но и лучше понять связи между тригонометрическими функциями.