Для начала, давайте разберемся с данным дифференциальным уравнением затухающих колебаний в LCR-контуре. Уравнение имеет вид:

q" + 4·10^4 * q' + 10^10 * q = 0

Здесь q - заряд на конденсаторе, q' - первая производная заряда по времени (т.е. ток), а q" - вторая производная заряда по времени. Это уравнение имеет стандартный вид для затухающих колебаний, который можно записать как:

q" + 2 * ζ * ω_0 * q' + ω_0^2 * q = 0

где:

• ζ - коэффициент затухания (damping ratio),
• ω_0 - собственная угловая частота колебаний (natural frequency).

Сравнив коэффициенты, мы можем установить следующие равенства:

• 2 * ζ * ω_0 = 4 * 10^4
• ω_0^2 = 10^10.

Теперь найдем собственную частоту ω_0:

1. Из второго уравнения: ω_0 = √(10^10) = 10^5 рад/с.

Теперь подставим значение ω_0 в первое уравнение:

1. 2 * ζ * 10^5 = 4 * 10^4.
2. ζ = (4 * 10^4) / (2 * 10^5) = 0.2.

Теперь, чтобы найти индуктивность L и сопротивление R, мы используем следующие соотношения:

• ω_0 = 1 / √(LC),
• R = 2 * ζ * √(L/C).

Сначала найдем L:

1. Подставим известные значения: 10^5 = 1 / √(L * 100 * 10^-12).
2. Отсюда: L = 1 / (10^10 * 100 * 10^-12) = 1 / (10^-8) = 10^8 Гн.

Теперь найдем R:

1. Сначала найдем √(L/C): √(10^8 / (100 * 10^-12)) = √(10^10) = 10^5.
2. Теперь подставим в формулу для R: R = 2 * 0.2 * 10^5 = 4 * 10^4 Ом.

Теперь можем найти частоту затухающих колебаний:

Частота затухающих колебаний f_d = ω_0 / (2 * π) = (10^5) / (2 * π) ≈ 15915.5 Гц.

Период затухающих колебаний T_d = 1 / f_d ≈ 1 / 15915.5 ≈ 6.283 мс.

Время релаксации τ, которое характеризует время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз, можно найти как:

τ = 1 / (ζ * ω_0) = 1 / (0.2 * 10^5) = 5 * 10^-6 с = 5 мкс.

Добротность контура Q определяется как:

Q = ω_0 * L / R = (10^5 * 10^8) / (4 * 10^4) = 250000.

Таким образом, мы получили все необходимые характеристики LCR-контур:

• Индуктивность L = 10^8 Гн,
• Сопротивление R = 4 * 10^4 Ом,
• Собственная частота ω_0 = 10^5 рад/с,
• Частота затухающих колебаний f_d ≈ 15915.5 Гц,
• Период T_d ≈ 6.283 мс,
• Время релаксации τ = 5 мкс,
• Добротность Q = 250000.