Даны точки A(-2;-1), B(1; 2), C(2; 0). Постройте на четырех различных чертежах:

1. отрезок A1B1, который является симметричным отрезку AB относительно точки C;
2. отрезок A2C2, который является симметричным отрезку AC относительно оси AB;
3. отрезок A3B3, полученный при параллельном переносе отрезка AB на вектор AC;
4. отрезок AC1, который получается при повороте отрезка AC вокруг точки A на 90° против часовой стрелки.

Укажите координаты точек A1, B1, A2, C2, A3, B3, C1.

Геометрия 10 класс Симметрия и преобразования в геометрии геометрия Симметрия отрезки координаты построение параллельный перенос поворот ось вектор точки Новый

Давайте поэтапно решим каждую из задач и найдем координаты требуемых точек.

1. Построение отрезка A1B1, симметричного отрезку AB относительно точки C.

Сначала найдем координаты точек A и B:

• A(-2; -1)
• B(1; 2)

Теперь найдем координаты точки C:

• C(2; 0)

Для нахождения координат точек A1 и B1, нам нужно использовать формулу для симметрии относительно точки. Если P(x, y) - точка, симметричная относительно Q(x0, y0), то:

• A1 = (2 * x0 - xA, 2 * y0 - yA)
• B1 = (2 * x0 - xB, 2 * y0 - yB)

Подставим значения:

• A1 = (2 * 2 - (-2), 2 * 0 - (-1)) = (4 + 2, 0 + 1) = (6, 1)
• B1 = (2 * 2 - 1, 2 * 0 - 2) = (4 - 1, 0 - 2) = (3, -2)

Таким образом, координаты точек A1 и B1:

• A1(6; 1)
• B1(3; -2)

2. Построение отрезка A2C2, симметричного отрезку AC относительно оси AB.

Сначала найдем координаты точки A и C:

• A(-2; -1)
• C(2; 0)

Теперь найдем уравнение прямой AB. Для этого найдем угловой коэффициент (k) и свободный член (b) уравнения прямой:

• k = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - (-1)) / (1 - (-2)) = 3 / 3 = 1
• y = kx + b

Теперь подставим координаты точки A(-2; -1) для нахождения b:

• -1 = 1 * (-2) + b => b = 1

Таким образом, уравнение прямой AB: y = x + 1.

Теперь найдем расстояние от точки C(2; 0) до прямой AB. Для этого используем формулу:

• d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), где Ax + By + C = 0 - уравнение прямой.

Уравнение прямой в общем виде: x - y + 1 = 0, значит A = 1, B = -1, C = 1.

Подставим значения:

• d = |1 * 2 - 1 * 0 + 1| / sqrt(1^2 + (-1)^2) = |2 + 1| / sqrt(2) = 3 / sqrt(2).

Теперь, чтобы найти A2 и C2, мы должны отразить точку C относительно прямой AB, что можно сделать, найдя координаты проекции точки C на прямую AB и затем используя вектор для нахождения симметричной точки:

Координаты точки проекции можно найти, но для простоты мы можем воспользоваться свойством симметрии. Так, получаем:

• A2 = A
• C2 = (xC, yC) + 2 * d * (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = (2, 0) + 2 * (3/sqrt(2)) * (1/sqrt(2), -1/sqrt(2)) = (2 + 3, 0 - 3) = (5, -3).

Таким образом, координаты точек A2 и C2:

• A2(-2; -1)
• C2(5; -3)

3. Построение отрезка A3B3, полученного при параллельном переносе отрезка AB на вектор AC.

Вектор AC можно найти следующим образом:

• AC = C - A = (2 - (-2), 0 - (-1)) = (4, 1).

Теперь перенесем каждую из точек A и B на вектор AC:

• A3 = A + AC = (-2 + 4, -1 + 1) = (2, 0)
• B3 = B + AC = (1 + 4, 2 + 1) = (5, 3)

Таким образом, координаты точек A3 и B3:

• A3(2; 0)
• B3(5; 3)

4. Построение отрезка AC1, который получается при повороте отрезка AC вокруг точки A на 90° против часовой стрелки.

Для поворота точки C(2; 0) вокруг точки A(-2; -1) на 90° против часовой стрелки, мы сначала найдем вектор AC:

• AC = C - A = (2 - (-2), 0 - (-1)) = (4, 1).

Теперь применим поворот на 90° против часовой стрелки:

• AC1 = (-y, x) = (-1, 4).

Теперь добавим этот вектор к точке A:

• C1 = A + AC1 = (-2, -1) + (-1, 4) = (-3, 3).

Таким образом, координаты точки C1:

• C1(-3; 3)

Теперь у нас есть все необходимые координаты:

• A1(6; 1)
• B1(3; -2)
• A2(-2; -1)
• C2(5; -3)
• A3(2; 0)
• B3(5; 3)
• C1(-3; 3)