Похожие вопросы
2026-01-18 17:03:14
Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
Геометрия 10 класс Вписанная окружность в треугольник радиус окружности вписанный треугольник прямоугольный треугольник сумма катетов гипотенуза доказательство геометрии
2026-01-18 17:03:35
Давайте докажем, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой. Для этого начнем с обозначений и необходимых формул.
Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Обозначим:
- a - длину катета AB;
- b - длину катета AC;
- c - длину гипотенузы BC.
Сначала вспомним формулу для радиуса вписанной окружности (r) в любом треугольнике:
r = S / p
где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.
Теперь найдем полупериметр (p) нашего треугольника:
p = (a + b + c) / 2
Теперь найдем площадь (S) прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
S = (a * b) / 2
Теперь подставим значения S и p в формулу для радиуса:
r = S / p = (a * b) / 2 / ((a + b + c) / 2)
Упрощая это выражение, получаем:
r = (a * b) / (a + b + c)
Теперь нужно показать, что это равно половине разности между суммой катетов и гипотенузой:
(a + b - c) / 2
Чтобы это сделать, давайте преобразуем выражение (a + b - c) / 2:
(a + b - c) / 2 = ((a + b) - c) / 2
Теперь сравним два выражения:
r = (a * b) / (a + b + c) и (a + b - c) / 2
Мы видим, что для равенства этих двух выражений нам нужно показать, что:
2(a * b) = (a + b)(a + b - c)
Раскроем скобки в правой части:
(a + b)(a + b - c) = (a + b)(a + b) - (a + b)c = a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc
Теперь, используя теорему Пифагора, у нас есть:
c^2 = a^2 + b^2
Подставим c^2 в уравнение:
2ab = a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc
Упрощая, мы получаем:
0 = a^2 + b^2 - ac - bc
Что верно, так как c^2 = a^2 + b^2.
Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, действительно равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой:
r = (a + b - c) / 2