2025-10-25 16:22:08
Хорды AB и CD пересекаются в точке O. Известно, что AB=8 см, OB=2 см, а также OD-OC=1 см. Какова длина хорды CD?
Геометрия 10 класс Длина хорды в круге хорды AB и CD пересечение в точке O длина хорды CD геометрия 10 класс задачи по геометрии длина отрезков решение задачи Новый
2025-10-25 16:22:30
Чтобы найти длину хорды CD, воспользуемся свойством пересекающихся хорд. Это свойство гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Обозначим:
- AO = x см (длина отрезка AO);
- OB = 2 см;
- OC = y см (длина отрезка OC);
- OD = y + 1 см (длина отрезка OD, так как OD - OC = 1 см).
Теперь можем записать длины хорд:
- Длина хорды AB: AB = AO + OB = x + 2 см;
- Длина хорды CD: CD = OC + OD = y + (y + 1) = 2y + 1 см.
Согласно свойству пересекающихся хорд, мы имеем:
(AO * OB) = (OC * OD)
Подставим значения:
(x * 2) = (y * (y + 1))
Теперь выразим x через y:
x = (y * (y + 1)) / 2.
Также нам нужно учесть, что AO + OB = 8 см:
x + 2 = 8
x = 6 см.
Теперь подставим x в уравнение:
6 = (y * (y + 1)) / 2.
Умножим обе стороны на 2:
12 = y * (y + 1).
Теперь разложим уравнение:
y^2 + y - 12 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
Теперь найдем корни:
y = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 7) / 2.
Получаем два значения:
- y1 = (6) / 2 = 3;
- y2 = (-8) / 2 = -4 (отрицательное значение не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Таким образом, OC = y = 3 см, а OD = y + 1 = 4 см.
Теперь можем найти длину хорды CD:
CD = OC + OD = 3 + 4 = 7 см.
Ответ: длина хорды CD равна 7 см.