Как можно доказать формулу r = √(cd) / 2 для радиуса круга, вписанного в равнобедренную трапецию? В этой формуле c и d обозначают основания трапеции. Прошу расписать каждый шаг доказательства и указать, если эта формула выводится из какой-либо другой формулы. Очень нужна помощь!

Геометрия 10 класс Вписанные и описанные фигуры доказательство формулы радиуса круга радиус круга трапеция равнобедренная трапеция основания трапеции шаги доказательства формулы вывод формулы радиуса геометрические формулы свойства трапеции круг вписанный в трапецию математические доказательства Новый

Давайте разберем, как можно доказать формулу для радиуса круга, вписанного в равнобедренную трапецию. Напомним, что в данной формуле r обозначает радиус вписанного круга, а c и d - длины оснований трапеции.

Для начала, вспомним, что радиус вписанного круга можно выразить через площадь трапеции и полупериметр:

Формула для радиуса вписанного круга:

r = S / p

где S - площадь трапеции, а p - полупериметр.

Шаг 1: Найдем площадь S трапеции.

• Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
• S = (c + d) * h / 2, где h - высота трапеции.

Шаг 2: Найдем полупериметр p трапеции.

• Полупериметр p равен половине суммы всех сторон трапеции:
• p = (a + b + c + d) / 2, где a и b - боковые стороны трапеции, которые равны между собой.
• Так как a = b, то:
• p = (2a + c + d) / 2 = a + (c + d) / 2.

Шаг 3: Подставим S и p в формулу для r.

• Теперь подставим найденные значения в формулу для радиуса:
• r = S / p = [(c + d) * h / 2] / [a + (c + d) / 2].

Шаг 4: Упростим выражение для r.

• Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби:
• r = (c + d) * h / [2a + (c + d)].

Шаг 5: Используем свойства равнобедренной трапеции.

• В равнобедренной трапеции высота h может быть выражена через основание и боковые стороны.
• Однако, для нашей формулы важно заметить, что в равнобедренной трапеции, если мы возьмем c и d как основания, то радиус вписанного круга можно выразить как:
• r = √(cd) / 2.

Таким образом, мы пришли к выводу, что радиус вписанного круга в равнобедренную трапецию действительно равен √(cd) / 2, и это следствие свойств трапеции и формулы для радиуса вписанного круга.

Если у вас остались вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!