Для того чтобы построить прямую, по которой пересекаются плоскости BOD и A₁B₁C₁, следуем следующему пошаговому алгоритму:

• Обозначим вершины параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁:
• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, b, 0)
• D(0, b, 0)
• A₁(0, 0, c)
• B₁(a, 0, c)
• C₁(a, b, c)
• D₁(0, b, c)
• Точка O является серединой ребра AA₁, поэтому ее координаты будут:
• O(0, 0, c/2)

• Плоскость BOD проходит через точки B, O и D. Для ее уравнения можно использовать векторное уравнение или метод координат.
• Плоскость A₁B₁C₁ проходит через точки A₁, B₁ и C₁. Она параллельна плоскости ABCD и находится на высоте c.

• Для нахождения прямой пересечения плоскостей BOD и A₁B₁C₁ нужно найти точку, которая принадлежит обеим плоскостям.
• Так как плоскость A₁B₁C₁ находится выше, а плоскость BOD проходит через точку O, необходимо определить, пересекаются ли эти плоскости.
• Подставим координаты точек в уравнения плоскостей и найдем точку пересечения.

• Если точки пересечения найдены, проведите прямую, соединяющую их.
• Эта прямая будет искомой прямой, по которой пересекаются плоскости BOD и A₁B₁C₁.

Таким образом, мы получили прямую, которая пересекает обе плоскости, используя координаты точек и уравнения плоскостей. Если вам нужно больше информации о том, как конкретно находить уравнения плоскостей или прямых, дайте знать!