Каков объем прямоугольного параллелепипеда, если его основание представляет собой квадрат со стороной а, а диагональ боковой грани образует угол альфа с плоскостью основания?

Геометрия 10 класс Объем прямоугольного параллелепипеда объём прямоугольного параллелепипеда квадрат со стороной а диагональ боковой грани угол альфа плоскость основания Новый

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание параметров параллелепипеда

• Сторона основания параллелепипеда равна a. Поскольку основание представляет собой квадрат, то его высота обозначим как h.
• Диагональ боковой грани образует угол альфа с плоскостью основания.

Шаг 2: Находим диагональ боковой грани

Боковая грань параллелепипеда - это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте h, а другая сторона равна a (сторона квадрата). Для нахождения длины диагонали боковой грани используем теорему Пифагора:

Длина диагонали D боковой грани равна:

D = sqrt(a^2 + h^2)

Шаг 3: Связь между высотой и углом альфа

По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике, мы имеем:

cos(альфа) = основание / гипотенуза

В нашем случае основание - это высота h, а гипотенуза - это диагональ D. Таким образом, можем записать:

cos(альфа) = h / D

Подставляем значение D:

cos(альфа) = h / sqrt(a^2 + h^2)

Теперь выразим h через угол альфа и сторону a:

h = D * cos(альфа)

Шаг 4: Подставляем значение D

Теперь, подставив D в формулу, получим:

h = sqrt(a^2 + h^2) * cos(альфа)

Чтобы выразить h, необходимо решить это уравнение. Это может быть сделано, но для упрощения, давайте просто выразим объем.

Шаг 5: Объем параллелепипеда

Объем V прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение площади основания на высоту:

V = S * h

где S - площадь основания. Поскольку основание квадратное, S равно a^2:

V = a^2 * h

Теперь, подставив h, получим объем через угол альфа:

V = a^2 * (D * cos(альфа))

Таким образом, мы можем выразить объем параллелепипеда через a и угол альфа.

Итог:

Объем прямоугольного параллелепипеда можно выразить как:

V = a^2 * (sqrt(a^2 + h^2) * cos(альфа))

Где h можно найти, если решить уравнение, полученное на шаге 3.