Для нахождения площади равнобедренного треугольника, зная высоту и некоторые другие параметры, давайте следовать пошагово.

Обозначим:

• h - высота треугольника, которая равна 6√2 см;
• a - длина основания треугольника;
• b - длина боковой стороны треугольника.

Из условия задачи известно, что вписанная окружность касается боковой стороны в точке, которая делит эту сторону в отношении 1:2. Это означает, что если мы обозначим длину боковой стороны как b, то отрезок, который от вершины до точки касания, будет равен (1/3)b, а отрезок от точки касания до основания будет равен (2/3)b.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание - это сторона a, а высота - это h. Таким образом, площадь будет равна:

Площадь = (1/2) * a * (6√2).

Чтобы найти основание a, нам нужно использовать информацию о высоте и соотношении, в котором точка касания делит боковую сторону. Мы знаем, что высота h делит основание на две равные части, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения a.

Пусть x - половина основания. Тогда:

• h^2 + x^2 = b^2;
• где h = 6√2.

Таким образом, у нас есть:

(6√2)^2 + x^2 = b^2.

Это упростится до:

72 + x^2 = b^2.

Теперь, используя отношение отрезков на боковой стороне, мы можем выразить b через x. Поскольку точка делит боковую сторону в отношении 1:2, мы можем записать:

b = (1/3)b + (2/3)b = b.

Теперь, используя отношение, мы можем найти x и b.

Теперь, когда мы имеем все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу площади:

Площадь = (1/2) * a * (6√2).

В итоге получим площадь равнобедренного треугольника, подставив известные значения a и h.

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника будет равна:

Площадь = 18√2 см² (предположительно, если a = 12 см).

Обязательно проверьте все вычисления и уточните значения, если они известны, чтобы получить точный ответ.