Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого стороны находятся в арифметической прогрессии. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где c - гипотенуза, а a и b - катеты. Поскольку стороны находятся в арифметической прогрессии, можно записать их следующим образом:

• a = x - d
• b = x
• c = x + d

где x - среднее значение прогрессии, а d - разность между соседними членами.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

(a^2 + b^2 = c^2)

Подставим наши выражения для a, b и c в эту формулу:

((x - d)^2 + x^2 = (x + d)^2)

Раскроем скобки:

1. (x - d)^2 = x^2 - 2xd + d^2
2. (x + d)^2 = x^2 + 2xd + d^2

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

(x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2)

Упростим его:

(2x^2 - 2xd = x^2 + 2xd)

Переносим все члены в одну сторону:

(2x^2 - x^2 - 2xd - 2xd = 0)

Это упрощается до:

(x^2 - 4xd = 0)

Факторизуем:

(x(x - 4d) = 0)

Из этого уравнения следует, что либо x = 0, либо x = 4d. Так как x не может быть равным 0 (это не имеет смысла в контексте длины сторон треугольника), принимаем x = 4d.

Теперь подставим это значение обратно в выражения для сторон:

• a = 4d - d = 3d
• b = 4d
• c = 4d + d = 5d

Теперь мы можем найти отношение наибольшей стороны (гипотенузы) к наименьшей стороне (катету):

(c / a = (5d) / (3d) = 5 / 3)

Таким образом, отношение наибольшей стороны к наименьшей в прямоугольном треугольнике, стороны которого находятся в арифметической прогрессии, равно 5:3.