Чтобы найти угол между прямой BB1 и плоскостью A1BC, нам нужно выполнить несколько шагов.

Предположим, что куб имеет сторону длины a. Тогда координаты вершин куба можно задать следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)

Прямая BB1 соединяет точки B и B1. Вектор, направленный вдоль прямой BB1, можно записать как:

• v = B1 - B = (a, 0, a) - (a, 0, 0) = (0, 0, a)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости A1BC. Для этого нам нужно определить два вектора, лежащих в этой плоскости:

• u1 = B - A1 = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)
• u2 = C - A1 = (a, a, 0) - (0, 0, a) = (a, a, -a)

Нормальный вектор N к плоскости A1BC можно найти с помощью векторного произведения векторов u1 и u2:

• N = u1 x u2 = |i j k|
• |a 0 -a|
• |a a -a|

Вычисляя детерминант, мы получаем:

• N = (0 - (-a^2), -(-a^2) - (a^2), (a^2 - 0)) = (a^2, a^2, a^2)

Теперь мы можем найти угол между вектором v и нормальным вектором N. Угол θ можно найти с помощью формулы:

• cos(θ) = (v * N) / (|v| * |N|)

Сначала найдем скалярное произведение v и N:

• v * N = (0, 0, a) * (a^2, a^2, a^2) = 0 + 0 + a * a^2 = a^3

Теперь найдем длины векторов:

• |v| = sqrt(0^2 + 0^2 + a^2) = a
• |N| = sqrt(a^4 + a^4 + a^4) = sqrt(3a^4) = a * sqrt(3)

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

• cos(θ) = a^3 / (a * a * sqrt(3)) = a^2 / (a * sqrt(3)) = 1/sqrt(3)

Теперь, чтобы найти угол θ, мы используем обратную функцию косинуса:

• θ = arccos(1/sqrt(3))

Таким образом, угол между прямой BB1 и плоскостью A1BC равен arccos(1/sqrt(3)).