В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2. а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Геометрия 10 класс Правильные четырехугольные пирамиды правильная четырехугольная пирамида рёбра равны 5 точки на ребрах плоскость PQR перпендикулярность расстояние до плоскости геометрия задачи по геометрии Новый

Давайте решим эту задачу по шагам.

а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

Для начала определим координаты точек. Пусть:

• S(0, 0, h), где h - высота пирамиды;
• A(-2.5, -2.5, 0);
• B(2.5, -2.5, 0);
• C(2.5, 2.5, 0);
• D(-2.5, 2.5, 0);

Сначала найдем высоту h. В правильной пирамиде высота h можно найти из равенства:

h^2 + (a/2)^2 = 5^2, где a - длина стороны основания (AB = BC = 5).

В нашем случае a = 5, следовательно:

h^2 + (5/2)^2 = 25.

h^2 + 6.25 = 25.

h^2 = 18.75, h = √18.75 = 4.33.

Теперь найдем координаты точек P, Q и R:

• P(-2.5 + 2, -2.5, h) = (-0.5, -2.5, 4.33);
• Q(-2.5, -2.5 + 2, 0) = (-2.5, -0.5, 0);
• R(2.5, -2.5, 0 + 2) = (2.5, -2.5, 2);

Теперь найдем векторы PQ и PR:

• PQ = Q - P = (-2.5 + 0.5, -0.5 + 2.5, 0 - 4.33) = (-2, 2, -4.33);
• PR = R - P = (2.5 + 0.5, -2.5 + 2.5, 2 - 4.33) = (3, 0, -2.33).

Теперь найдем нормальный вектор плоскости PQR, который равен произведению векторов PQ и PR:

n = PQ x PR.

Рассчитаем детерминант:

• n_x = (2 * -2.33) - (0 * 4.33) = -4.66;
• n_y = (0 * -4.33) - (-2 * -2) = -4;
• n_z = (-2 * 0) - (2 * 3) = -6.

Таким образом, нормальный вектор n = (-4.66, -4, -6).

Теперь найдем вектор SD:

SD = D - S = (-2.5, 2.5, 0 - 4.33) = (-2.5, 2.5, -4.33).

Теперь проверим, перпендикулярны ли векторы n и SD, вычисляя их скалярное произведение:

n * SD = (-4.66 * -2.5) + (-4 * 2.5) + (-6 * -4.33).

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Таким образом, мы можем заключить, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.

б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - компоненты нормального вектора плоскости, (x0, y0, z0) - координаты точки, и D - свободный член уравнения плоскости.

Сначала найдем уравнение плоскости PQR. У нас есть нормальный вектор n = (-4.66, -4, -6) и точка P(-0.5, -2.5, 4.33). Подставим это в уравнение плоскости:

-4.66(x + 0.5) - 4(y + 2.5) - 6(z - 4.33) = 0.

Теперь найдем значение D:

D = -4.66 * (-0.5) - 4 * (-2.5) - 6 * 4.33 = 2.33 + 10 + 25.98 = 38.31.

Теперь подставим координаты точки D(-2.5, 2.5, 0) в формулу для расстояния:

d = | -4.66 * (-2.5) - 4 * 2.5 - 6 * 0 + 38.31 | / √( (-4.66)^2 + (-4)^2 + (-6)^2 ).

Рассчитаем:

d = | 11.65 - 10 + 0 + 38.31 | / √(21.71 + 16 + 36) = |39.96| / √73.71.

Таким образом, расстояние от вершины D до плоскости PQR равно d = 39.96 / √73.71.

Это и есть ответ на поставленную задачу.