В равнобедренном треугольнике, где основание составляет 10 см, а угол при основании равен 30º, каким образом можно определить радиусы описанной и вписанной окружностей вокруг этого треугольника?

Геометрия 10 класс Описанные и вписанные окружности треугольника равнобедренный треугольник основание 10 см угол 30 градусов радиус описанной окружности радиус вписанной окружности геометрия вычисление радиусов свойства треугольника Новый

Для решения задачи о нахождении радиусов описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника, начнем с анализа данных:

• Основание треугольника (AB) равно 10 см.
• Угол при основании (угол A) равен 30º.

Обозначим вершину треугольника как C, а стороны AC и BC как равные (так как треугольник равнобедренный).

1. Найдем длину боковых сторон (AC и BC).

Для этого проведем высоту из вершины C на основание AB. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как D. Поскольку угол A равен 30º, то угол ADC равен 90º, а угол ADB равен 60º (так как сумма углов в треугольнике равна 180º).

Согласно свойствам треугольника:

• AD = AB / 2 = 10 см / 2 = 5 см.
• Используем тригонометрию для нахождения длины AC (или BC):

С учетом того, что в треугольнике ADC:

• sin(30º) = AD / AC.
• AC = AD / sin(30º) = 5 см / 0.5 = 10 см.

Таким образом, боковые стороны AC и BC равны 10 см.

2. Теперь найдем радиус описанной окружности (R).

Формула для радиуса описанной окружности R для треугольника:

R = (abc) / (4S),

где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - площадь треугольника.

Стороны треугольника:

• a = AC = 10 см,
• b = BC = 10 см,
• c = AB = 10 см.

Теперь найдем площадь S треугольника:

• Площадь S = (1/2) * основание * высота.
• Высота CD можно найти через cos(30º):

CD = AC * cos(30º) = 10 см * (√3/2) = 5√3 см.

Теперь подставим в формулу для площади:

S = (1/2) * AB * CD = (1/2) * 10 см * 5√3 см = 25√3 см².

Теперь подставим значения в формулу для радиуса R:

R = (10 см * 10 см * 10 см) / (4 * 25√3 см²) = 1000 / (100√3) = 10 / √3 см.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности (r).

Формула для радиуса вписанной окружности r:

r = S / p,

где p - полупериметр треугольника.

Полупериметр p равен:

p = (a + b + c) / 2 = (10 см + 10 см + 10 см) / 2 = 15 см.

Теперь подставим в формулу для радиуса r:

r = S / p = (25√3 см²) / 15 см = (5√3) / 3 см.

Таким образом, радиусы окружностей равнобедренного треугольника равны:

• Радиус описанной окружности R = 10 / √3 см.
• Радиус вписанной окружности r = (5√3) / 3 см.