Для того чтобы доказать, что прямая EF параллельна плоскости а, воспользуемся свойством подобия треугольников и теорией о пропорциональных отрезках.

Итак, у нас есть треугольник ABC, где точки A и C лежат на плоскости а, а точка B находится вне этой плоскости. Мы обозначили точки E и F на сторонах AB и BC соответственно, так что выполняется соотношение:

• ВА : BE = BC : BF

Это соотношение говорит нам о том, что отрезки BE и BF пропорциональны отрезкам BA и BC. Теперь мы можем использовать это свойство для дальнейшего анализа.

Рассмотрим треугольники ABE и BCF. Поскольку у нас есть пропорциональные отрезки, то треугольники ABE и BCF подобны по двум углам:

• Угол ABE равен углу BCF (по определению углов, образованных параллельными прямыми).
• Угол AEB равен углу CBF (так как они вертикальные).

Из подобия треугольников следует, что:

• AB/BC = AE/CF
• Таким образом, отрезок EF будет делить отрезки AB и BC в тех же пропорциях.

Теперь рассмотрим плоскость а, в которой находятся точки A и C. Если прямая EF делит стороны AB и BC в одинаковых пропорциях, то она будет параллельна прямой AC, которая лежит в плоскости а. Это следует из теоремы о параллельных прямых и секущей.

Таким образом, мы можем утверждать, что прямая EF, будучи параллельной AC, также будет параллельна плоскости а, так как любая прямая, параллельная двум другим прямым, лежащим в одной плоскости, параллельна этой плоскости.

Итак, мы доказали, что прямая EF параллельна плоскости а.