Для решения задачи давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, где a - это меньший катет, а b - больший катет. Мы знаем, что:

• Гипотенуза (c) = 50 см
• Площадь треугольника = 600 см²

Сначала вспомним формулу для площади прямоугольного треугольника:

Площадь = (a * b) / 2

Подставим известное значение площади:

(a * b) / 2 = 600

Умножим обе стороны на 2:

a * b = 1200

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a * b = 1200
• 2) a² + b² = c², где c = 50 см

Подставим значение гипотенузы в уравнение:

a² + b² = 50²

a² + b² = 2500

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a * b = 1200
• 2) a² + b² = 2500

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 1200 / a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (1200 / a)² = 2500

Упростим уравнение:

a² + 1440000 / a² = 2500

Умножим все на a², чтобы избавиться от дроби:

a^4 - 2500a² + 1440000 = 0

Теперь обозначим x = a². Тогда уравнение примет вид:

x² - 2500x + 1440000 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-2500)² - 4 * 1 * 1440000

D = 6250000 - 5760000 = 490000

Теперь найдем корни уравнения:

x = (2500 ± √490000) / 2

√490000 = 700, поэтому:

x = (2500 ± 700) / 2

Теперь найдем два значения:

x₁ = (2500 + 700) / 2 = 1600

x₂ = (2500 - 700) / 2 = 900

Так как x = a², то:

a² = 1600 или a² = 900

Следовательно, a = 40 или a = 30.

Поскольку a - это меньший катет, то:

Длина меньшего катета равна 30 см.

Таким образом, правильный ответ - 30 см.