2025-10-29 14:40:55
Вопрос: Какова площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2 и y = x + 2?
Геометрия 10 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры линии y = x^2 линии y = x + 2 геометрия задачи по геометрии интегралы нахождение площади графики функций математический анализ площадь под кривой Новый
2025-10-29 14:41:20
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = x + 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых.Для этого приравняем уравнения:
x^2 = x + 2.
Переносим все в одну сторону:
x^2 - x - 2 = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней:
- a = 1, b = -1, c = -2.
- Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
- Корни уравнения: x1 = ( -b + sqrt(D) ) / (2a) и x2 = ( -b - sqrt(D) ) / (2a).
Подставляем значения:
- x1 = (1 + 3) / 2 = 2,
- x2 = (1 - 3) / 2 = -1.
Таким образом, точки пересечения кривых находятся в x = -1 и x = 2.
Шаг 2: Найдем площадь между кривыми.Площадь между двумя кривыми можно найти с помощью интеграла от разности функций:
Площадь = ∫(y_верх - y_низ) dx от x1 до x2.
В нашем случае:
- y_верх = x + 2,
- y_низ = x^2.
Теперь подставим это в интеграл:
Площадь = ∫ от -1 до 2 ((x + 2) - (x^2)) dx.
Упрощаем выражение под интегралом:
(x + 2 - x^2) = -x^2 + x + 2.
Шаг 3: Найдем интеграл.Теперь вычислим интеграл:
∫(-x^2 + x + 2) dx = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x.
Теперь подставим пределы интегрирования от -1 до 2:
- Сначала подставим x = 2:
- Теперь подставим x = -1:
(-1/3)(2^3) + (1/2)(2^2) + 2(2) = (-8/3) + 2 + 4 = (-8/3) + (6/3) + (12/3) = (10/3).
(-1/3)(-1^3) + (1/2)(-1^2) + 2(-1) = (1/3) + (1/2) - 2 = (1/3) + (3/6) - (12/6) = (1/3) - (9/6) = (1/3) - (3/2) = (1/3) - (9/6) = (-13/6).
Теперь вычтем результаты:
Площадь = (10/3) - (-13/6) = (10/3) + (13/6).
Приведем к общему знаменателю:
(20/6) + (13/6) = 33/6 = 11/2.
Ответ:Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 и y = x + 2, равна 11/2 квадратных единиц.