1) Из точки А, не лежащей на окружности, проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р, начиная от точки А. Как найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 5, а отрезок КР на 5 больше отрезка АК?
2) Из точки А, не лежащей на окружности, проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р, начиная от точки А. Как найти длину отрезка АР и АК, если АК : КР = 4 : 5, АВ = 12?
Геометрия 11 класс Касательные и секущие к окружности геометрия 11 класс касательная и секущая длина отрезка АК длина отрезка АР окружность задачи по геометрии свойства касательной отношение отрезков решение задач по геометрии Новый
Решение задачи 1:
Давайте рассмотрим первую задачу. У нас есть касательная АВ и секущая АК, которые пересекают окружность в точках К и Р. По условию, длина отрезка АВ равна 5, а отрезок КР на 5 больше отрезка АК.
Обозначим длину отрезка АК как x. Тогда, согласно условию, длина отрезка КР будет равна x + 5.
По теореме о касательной и секущей, мы знаем, что:
Теперь выразим АР через АК и КР:
Теперь подставим в уравнение:
Перепишем уравнение:
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Теперь найдем корни уравнения:
Так как длина не может быть отрицательной, принимаем x = 2.5.
Теперь найдем длину отрезка АР:
Ответ к задаче 1: Длина отрезка АК = 2.5, длина отрезка АР = 10.
Решение задачи 2:
Теперь перейдем ко второй задаче. У нас также есть касательная АВ и секущая АК, и нам даны соотношения АК : КР = 4 : 5 и длина АВ = 12.
Обозначим длину отрезка АК как 4k, тогда длина отрезка КР будет равна 5k.
Согласно теореме о касательной и секущей:
Теперь выразим АР через АК и КР:
Подставим в уравнение:
Теперь решим это уравнение:
Теперь найдем длину отрезка АК:
И длину отрезка АР:
Ответ к задаче 2: Длина отрезка АК = 8, длина отрезка АР = 18.