1. Количество граней и рёбер правильной восьмиугольной призмы

Правильная восьмиугольная призма состоит из двух оснований и боковых граней. Давайте разберёмся, сколько у неё граней и рёбер:

• В основании призмы находится правильный восьмиугольник, который имеет 8 сторон.
• Восьмиугольная призма имеет 2 основания (верхнее и нижнее), следовательно, количество граней будет равно 2 (основания) + 8 (боковые грани) = 10 граней.
• Что касается рёбер, то у восьмиугольника 8 рёбер, и у призмы есть еще 8 вертикальных рёбер, соединяющих соответствующие вершины оснований. Таким образом, общее количество рёбер будет 8 (основание) + 8 (боковые) = 16 рёбер.

В итоге, правильная восьмиугольная призма имеет 10 граней и 16 рёбер.

2. Прямая призма с равнобедренным треугольником в основании

Дано: равнобедренный треугольник с сторонами AB = BC = 15 см и AC = 18 см, площадь ΔСАВ₁ = 180 см².

a) Какова высота призмы ВВ₁?

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = 1/2 * основание * высота.

В данном случае основание AC = 18 см, а площадь равна 180 см². Подставим известные значения:

180 = 1/2 * 18 * h, где h - высота треугольника.

Умножим обе стороны на 2:

360 = 18 * h.

Теперь разделим обе стороны на 18:

h = 360 / 18 = 20 см.

Высота призмы ВВ₁ равна 20 см.

b) Как вычислить площадь полной поверхности призмы?

Площадь полной поверхности призмы состоит из площади двух оснований и площади боковых граней:

• Площадь двух оснований: 2 * Площадь треугольника = 2 * 180 = 360 см².
• Площадь боковых граней: это прямоугольники, у которых высота равна высоте призмы (20 см), а длина соответствует стороне основания (18 см и 15 см).
• Площадь боковых граней = 2 * (AB * h + BC * h) = 2 * (15 * 20 + 15 * 20) = 2 * (300 + 300) = 2 * 600 = 1200 см².

Теперь сложим площади: 360 + 1200 = 1560 см².

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна 1560 см².

3. Правильная треугольная пирамида

a) Как изображается развертка правильной треугольной пирамиды?

Развертка правильной треугольной пирамиды состоит из:

• Один равносторонний треугольник, представляющий основание пирамиды.
• Три равнобедренных треугольника, представляющие боковые грани, которые соединяются с вершиной пирамиды.

Эти треугольники располагаются вокруг основания, создавая форму пирамиды.

b) Как найти апофему пирамиды?

Апофема пирамиды - это высота боковой грани, которая соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания. Для нахождения апофемы можно использовать теорему Пифагора.

В нашем случае, боковое ребро равно 20 см, а сторона основания равна 24 см. Половина стороны основания будет равна 12 см (24 см / 2).

Теперь применим теорему Пифагора:

апофема^2 + (половина стороны)^2 = (боковое ребро)^2.

Обозначим апофему как h:

h^2 + 12^2 = 20^2.

h^2 + 144 = 400.

Теперь вычтем 144 из обеих сторон:

h^2 = 400 - 144 = 256.

Теперь найдём h:

h = √256 = 16 см.

Таким образом, апофема пирамиды равна 16 см.