1. Задача о подобии треугольников

Дано, что треугольники ABC и A1B1C1 являются подобными, и отношение их соответствующих сторон составляет 7:5. Это означает, что если мы обозначим стороны треугольника ABC как a, b, c, а стороны треугольника A1B1C1 как a1, b1, c1, то:

• a/a1 = 7/5
• b/b1 = 7/5
• c/c1 = 7/5

Поскольку площади подобных треугольников пропорциональны квадратам отношений их соответствующих сторон, мы можем записать:

Площадь ABC / Площадь A1B1C1 = (7/5)² = 49/25.

Обозначим площадь треугольника A1B1C1 как S. Тогда площадь треугольника ABC будет:

S * (49/25) = S * 49/25.

Согласно условию, площадь ABC на 12 м² больше, чем площадь A1B1C1:

S * (49/25) = S + 12.

Теперь упростим уравнение:

49S/25 = S + 12.

Умножим обе стороны на 25, чтобы избавиться от дроби:

49S = 25S + 300.

Теперь перенесем 25S на левую сторону:

49S - 25S = 300.

24S = 300.

Теперь найдем S:

S = 300 / 24 = 12.5.

Итак, площадь треугольника A1B1C1 равна 12.5 м². Теперь найдем площадь треугольника ABC:

Площадь ABC = 12.5 + 12 = 24.5 м².

Ответ:

• Площадь треугольника A1B1C1 = 12.5 м².
• Площадь треугольника ABC = 24.5 м².

2. Задача о параллелограмме

Дано, что в параллелограмме ABCD выбрана точка E на стороне CD. Лучи AE и BC пересекаются в точке F. Нам нужно найти длины отрезков EF и FC, зная, что:

• DE = 8 см,
• EC = 4 см,
• BC = 7 см,
• AE = 10 см.

Сначала найдем длину отрезка CD:

CD = DE + EC = 8 см + 4 см = 12 см.

Теперь применим теорему о подобии треугольников. Треугольники AEF и CEF являются подобными, так как AE и BC являются пересекающимися секущими. Соотношение их оснований EF и FC будет равно соотношению AE и BC:

EF / FC = AE / BC = 10 / 7.

Обозначим EF как x и FC как y. Тогда у нас есть:

x / y = 10 / 7.

Также мы знаем, что x + y = CD = 12 см.

Теперь выразим y через x:

y = (7/10)x.

Подставим это в уравнение x + y = 12:

x + (7/10)x = 12.

(10/10)x + (7/10)x = 12.

(17/10)x = 12.

Теперь найдем x:

x = 12 * (10/17) = 120/17 ≈ 7.06 см.

Теперь найдем y:

y = 12 - x = 12 - 120/17 = (204 - 120)/17 = 84/17 ≈ 4.94 см.

Ответ:

• Длина отрезка EF ≈ 7.06 см.
• Длина отрезка FC ≈ 4.94 см.