Задание 1: Найдем углы равнобедренной трапеции, где один из углов, образованный диагональю и боковой стороной, равен 120°. Обозначим трапецию ABCD, где AB - большее основание, CD - меньшее основание, AD и BC - боковые стороны.

1. Угол, образованный диагональю AC и боковой стороной AD, равен 120°. Это значит, что угол DAB (угол между основанием AB и боковой стороной AD) будет равен 180° - 120° = 60° (так как сумма углов на одной стороне равна 180°).

2. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Следовательно, угол ABC также равен 60°.

3. Углы при меньшем основании CD равны: угол DCB и угол CDA. Так как сумма всех углов трапеции равна 360°, можем найти углы DCB и CDA:

• Угол DAB = 60°
• Угол ABC = 60°
• Угол CDA + угол DCB + угол DAB + угол ABC = 360°
• Угол CDA + угол DCB + 60° + 60° = 360°
• Угол CDA + угол DCB = 360° - 120° = 240°

4. Поскольку углы CDA и DCB равны, обозначим их через x:

• 2x = 240°
• x = 120°

Таким образом, углы CDA и DCB равны 120°.

Ответ: Углы трапеции: 60°, 60°, 120°, 120°.

Задание 2: Найдем отношение оснований прямоугольной трапеции, где острый угол и угол, образованный меньшей диагональю с меньшим основанием, равны 60°.

Обозначим трапецию ABCD, где AB - большее основание, CD - меньшее основание, AD и BC - боковые стороны. Угол A равен 60°.

1. Так как ABCD - прямоугольная трапеция, угол D равен 90°. Таким образом, угол C также равен 60° (так как сумма углов в треугольнике ABC равна 180°).

2. Рассмотрим треугольник ABD. Угол A = 60°, угол D = 90°, следовательно, угол B = 30°.

3. Теперь используем соотношение сторон в треугольнике ABD. В прямоугольном треугольнике со сторонами, противоположными углам 30° и 60°, отношение сторон равно:

• Сторона, противоположная углу 30° (AD) = x
• Сторона, противоположная углу 60° (AB) = x√3

4. Учитывая, что CD - это меньшая сторона, которая равна AD, а AB - это большее основание:

• AB = CD * √3

5. Теперь найдем отношение оснований:

• AB/CD = √3

Ответ: Отношение оснований трапеции AB к CD равно √3.