а) Для того чтобы определить, существует ли выпуклый шестиугольник с заданными углами, необходимо воспользоваться свойством суммы внутренних углов многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника рассчитывается по формуле:

Сумма углов = (n - 2) * 180°, где n - количество сторон.

Для шестиугольника (n = 6):

Сумма углов = (6 - 2) * 180° = 4 * 180° = 720°.

Теперь найдем сумму данных углов:

• 30°
• 80°
• 100°
• 150°
• 175°
• 185°

Суммируем:

30° + 80° + 100° + 150° + 175° + 185° = 720°.

Сумма внутренних углов равна 720°, что совпадает с рассчитанным значением. Однако, необходимо проверить, являются ли углы выпуклыми. Выпуклый угол должен быть меньше 180°.

Проверим каждый угол:

• 30° - выпуклый
• 80° - выпуклый
• 100° - выпуклый
• 150° - выпуклый
• 175° - выпуклый
• 185° - невыпуклый

Угол 185° является невыпуклым, поэтому такой шестиугольник не может существовать.

Ответ: Выпуклый шестиугольник с такими углами не существует.

б) Теперь найдем внешние углы правильного восьмиугольника. Внешний угол многоугольника определяется как разность между 180° и соответствующим внутренним углом.

Сумма внешних углов любого многоугольника всегда равна 360°. Так как восьмиугольник правильный, все его внешние углы равны.

Для правильного восьмиугольника:

Внешний угол = 360° / n, где n - количество сторон.

В данном случае n = 8:

Внешний угол = 360° / 8 = 45°.

Таким образом, каждый внешний угол правильного восьмиугольника равен 45°.

Ответ: Внешние углы правильного восьмиугольника равны 45°.