Для решения данной задачи мы будем использовать несколько геометрических понятий и формул. Давайте разберем каждый пункт по порядку.

Высота пирамиды, опущенная из вершины D, перпендикулярна основанию ABC. Сначала нам нужно найти уравнение плоскости, в которой лежит треугольник ABC.

• Для этого найдем векторы AB и AC:
• AB = B - A = (5 - 1; 2 - 8; 6 - 2) = (4; -6; 4)
• AC = C - A = (5 - 1; 7 - 8; 4 - 2) = (4; -1; 2)
• Теперь найдем вектор нормали к плоскости ABC, используя векторное произведение:
• N = AB × AC = |i j k|
• |4 -6 4|
• |4 -1 2|
• Вычисляем определитель:
• N = i((-6)*2 - 4*(-1)) - j(4*2 - 4*4) + k(4*(-1) - (-6)*4)
• N = i(-12 + 4) - j(8 - 16) + k(-4 + 24)
• N = i(-8) + j(8) + k(20) = (-8; 8; 20)
• Теперь запишем уравнение плоскости ABC в виде:
• -8(x - 1) + 8(y - 8) + 20(z - 2) = 0

Теперь подставим координаты точки D(4; 10; 9) в уравнение плоскости, чтобы найти расстояние от точки D до плоскости:

• Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:
• d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, (x0, y0, z0) - координаты точки D.
• Подставляем значения:
• d = |-8*4 + 8*10 + 20*9 + D| / sqrt((-8)^2 + 8^2 + 20^2)

После подстановки и вычислений мы найдем высоту.

Угол ∠BAC можно найти с помощью скалярного произведения векторов AB и AC:

• Сначала найдем длины векторов AB и AC:
• |AB| = sqrt(4^2 + (-6)^2 + 4^2) = sqrt(16 + 36 + 16) = sqrt(68)
• |AC| = sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(16 + 1 + 4) = sqrt(21)
• Теперь найдем скалярное произведение:
• AB · AC = 4*4 + (-6)*(-1) + 4*2 = 16 + 6 + 8 = 30
• Теперь можем найти косинус угла:
• cos(∠BAC) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)
• Вычисляем:
• cos(∠BAC) = 30 / (sqrt(68) * sqrt(21))

Угол ∠BAC можно найти, используя арккосинус.

Центр тяжести треугольника ABC находится как среднее арифметическое координат его вершин:

• Gx = (Ax + Bx + Cx) / 3 = (1 + 5 + 5) / 3 = 11 / 3
• Gy = (Ay + By + Cy) / 3 = (8 + 2 + 7) / 3 = 17 / 3
• Gz = (Az + Bz + Cz) / 3 = (2 + 6 + 4) / 3 = 12 / 3 = 4

Таким образом, координаты центра тяжести G треугольника ABC равны (11/3; 17/3; 4).

Теперь мы рассмотрели все три пункта задачи. Если у вас есть вопросы или требуется дополнительное пояснение, не стесняйтесь спрашивать!