Давайте разберем оба задания по очереди.

Задание 3:

Мы знаем, что объем правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

V = S_основания * h,

где S_основания - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Также нам дана площадь полной поверхности призмы, которая включает в себя:

• Площадь двух оснований (S_основания),
• Площадь трех боковых граней.

Поскольку основание призмы является правильным треугольником, площадь одной боковой грани равна площади основания. Обозначим площадь основания как S.

Таким образом, площадь полной поверхности будет равна:

180√3 = 2S + 3S = 5S

Теперь мы можем найти площадь основания:

S = (180√3) / 5 = 36√3 см².

Теперь, так как площадь основания равна площади боковой грани, мы можем сказать, что:

S = S_боковой грани = 36√3 см².

Для нахождения высоты призмы, мы можем воспользоваться формулой для площади боковой грани. Площадь боковой грани правильной треугольной призмы равна:

S_боковой грани = (1/2) * a * h_боковой,

где a - сторона основания, h_боковой - высота боковой грани.

В данном случае, поскольку площадь боковой грани равна площади основания, мы можем записать:

36√3 = (1/2) * a * h_боковой.

Теперь, чтобы найти объем, необходимо знать высоту призмы. Однако, если мы предположим, что высота боковой грани равна высоте призмы (что возможно для правильной призмы), то:

V = S * h = 36√3 * h.

Для окончательного ответа нам нужно знать h. Если h известна, мы можем подставить и получить объем.

Задание 4:

Объем прямой призмы можно вычислить по формуле:

V = S_основания * h,

где S_основания - площадь основания, h - высота призмы.

В нашем случае основание является параллелограммом со сторонами 3 см и 6 см и углом 60°. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

S_основания = a * b * sin(угол),

где a и b - длины сторон, угол - угол между ними.

Подставим известные значения:

S_основания = 3 * 6 * sin(60°) = 3 * 6 * (√3/2) = 9√3 см².

Теперь нам нужно найти высоту призмы. У нас есть большая диагональ, которая образует угол 30° с плоскостью основания. Давайте обозначим высоту призмы как h.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, образованного высотой, основанием и диагональю, мы можем записать:

h = d * sin(30°),

где d - длина большой диагонали.

Большая диагональ параллелограмма может быть найдена по формуле:

d = √(a² + b² + 2ab * cos(угол)).

Подставим значения:

d = √(3² + 6² + 2 * 3 * 6 * cos(60°)) = √(9 + 36 + 18) = √63.

Теперь подставим d в формулу для высоты:

h = √63 * sin(30°) = √63 * (1/2) = (√63) / 2.

Теперь мы можем найти объем призмы:

V = S_основания * h = 9√3 * (√63) / 2 = (9√189) / 2 см³.

Таким образом, объем призмы равен (9√189) / 2 см³.