Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где BC и AD являются основаниями, а AB и CD — боковыми сторонами. Дано, что BC = 9 см и AD = 25 см. Также известно, что трапеция описана около окружности, что означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Обозначим боковые стороны AB и CD как x. Так как трапеция описана около окружности, выполняется равенство:

BC + AD = AB + CD.

Подставим известные значения:

• 9 см + 25 см = x + x.
• 34 см = 2x.

Теперь решим это уравнение:

• x = 34 см / 2 = 17 см.

Таким образом, длина боковой стороны трапеции равна 17 см.

Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, можно найти по формуле:

R = (S / p),

где S — площадь трапеции, а p — полупериметр.

• p = (BC + AD + AB + CD) / 2 = (9 + 25 + 17 + 17) / 2 = 34 см.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

S = (a + b) * h / 2,

где a и b — основания, h — высота. Высоту h можно найти, используя свойства равнобедренной трапеции. Для этого используем формулу:

h = sqrt(x^2 - ((AD - BC) / 2)^2),

где x — длина боковой стороны, AD и BC — длины оснований.

Подставим значения:

• h = sqrt(17^2 - ((25 - 9) / 2)^2) = sqrt(289 - 64) = sqrt(225) = 15 см.

Теперь подставим h в формулу для площади:

• S = (9 + 25) * 15 / 2 = 34 * 15 / 2 = 255 см².

• R = S / p = 255 / 34 ≈ 7,5 см.

Таким образом, радиус окружности равен примерно 7,5 см.

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и окружности. В равнобедренной трапеции, если провести отрезок, соединяющий центр окружности O с вершиной A, то угол AOB будет прямым. Это происходит потому, что радиус, проведенный к касательной (отрезок AB), перпендикулярен касательной, а AB является касательной к окружности в точке B.

Таким образом, угол AOB равен 90 градусам, что и доказывает, что треугольник AOB является прямоугольным.