Задача 4: Прямоугольный параллелепипед

Дано: отношение сторон параллелепипеда 3:5:7 и длина диагонали 2√83 см.

Обозначим длины сторон параллелепипеда как:

• a = 3x
• b = 5x
• c = 7x

Где x - коэффициент, который мы найдем. Для начала воспользуемся формулой для нахождения длины диагонали параллелепипеда:

D = √(a² + b² + c²)

Подставим наши значения:

D = √((3x)² + (5x)² + (7x)²) = √(9x² + 25x² + 49x²) = √(83x²) = √83 * x

По условию задачи, диагональ D равна 2√83:

√83 * x = 2√83

Теперь разделим обе стороны уравнения на √83:

x = 2

Теперь подставим значение x, чтобы найти длины сторон:

• a = 3 * 2 = 6 см
• b = 5 * 2 = 10 см
• c = 7 * 2 = 14 см

Теперь найдем площадь полной поверхности параллелепипеда по формуле:

S = 2(ab + ac + bc)

Где:

• ab = 6 * 10 = 60 см²
• ac = 6 * 14 = 84 см²
• bc = 10 * 14 = 140 см²

Теперь подставим значения в формулу:

S = 2(60 + 84 + 140) = 2 * 284 = 568 см²

Ответ:

• Длины сторон параллелепипеда: 6 см, 10 см, 14 см
• Площадь полной поверхности: 568 см²

Задача 5: Пирамида с треугольным основанием

В основании пирамиды находится треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°.

Сначала найдем площадь основания треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:

s = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 см

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))

Где a, b, c - стороны треугольника. Подставим значения:

Площадь = √(21 * (21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6)

Теперь посчитаем:

21 * 8 = 168

7 * 6 = 42

168 * 42 = 7056

Теперь найдем корень из 7056. Корень равен 84 см².

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней. У нас три боковые грани, каждая из которых является треугольником с основанием равным стороне основания и высотой, равной высоте боковой грани.

Высота боковой грани можно найти по формуле:

h = a * sin(30°)

Где a - длина стороны основания, а sin(30°) = 1/2.

Теперь найдем высоты для каждой боковой грани:

• Для стороны 13 см: h1 = 13 * 1/2 = 6.5 см
• Для стороны 14 см: h2 = 14 * 1/2 = 7 см
• Для стороны 15 см: h3 = 15 * 1/2 = 7.5 см

Теперь найдем площади боковых граней:

• Площадь боковой грани с основанием 13 см: S1 = (1/2) * 13 * 6.5 = 42.25 см²
• Площадь боковой грани с основанием 14 см: S2 = (1/2) * 14 * 7 = 49 см²
• Площадь боковой грани с основанием 15 см: S3 = (1/2) * 15 * 7.5 = 56.25 см²

Теперь сложим площади боковых граней:

Площадь боковой поверхности = S1 + S2 + S3 = 42.25 + 49 + 56.25 = 147.5 см²

Ответ:

• Площадь боковой поверхности пирамиды: 147.5 см²