Давайте разберем задачу по шагам и найдем необходимые значения для боковой грани, основания, боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды.

1. Найдем сторону основания пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде высота (отрезок, соединяющий вершину с центром основания) равна 12, а апофема (отрезок от вершины до середины стороны основания) равна 15. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны основания.

Обозначим:

• h - высота пирамиды (12);
• a - сторона основания;
• l - апофема (15).

Согласно теореме Пифагора:

l^2 = h^2 + (a/2)^2

Подставим известные значения:

15^2 = 12^2 + (a/2)^2.

Это дает нам:

225 = 144 + (a/2)^2.

(a/2)^2 = 225 - 144 = 81.

a/2 = 9.

Следовательно, a = 18.

2. Найдем площадь основания пирамиды.

Основание пирамиды является равносторонним треугольником со стороной a = 18.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (sqrt(3)/4) * a^2.

Подставим значение стороны:

Площадь = (sqrt(3)/4) * 18^2 = (sqrt(3)/4) * 324 = 81sqrt(3).

3. Найдем площадь боковой грани пирамиды.

Боковая грань пирамиды также является равносторонним треугольником с основанием равным стороне основания (18) и высотой равной апофеме (15).

Площадь боковой грани = (1/2) * основание * высота.

Подставим значения:

Площадь боковой грани = (1/2) * 18 * 15 = 135.

4. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

В пирамиде три боковые грани, поэтому общая площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 3 * Площадь одной боковой грани = 3 * 135 = 405.

5. Найдем полную поверхность пирамиды.

Полная поверхность пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

Полная поверхность = Площадь основания + Площадь боковой поверхности = 81sqrt(3) + 405.

Итак, подытожим:

• Сторона основания пирамиды: 18;
• Площадь основания: 81sqrt(3);
• Площадь боковой грани: 135;
• Площадь боковой поверхности: 405;
• Полная поверхность: 81sqrt(3) + 405.