Для решения задачи, давайте разберем ее по шагам.

1. Понимание условий задачи: У нас есть отрезок АВ, и через его конец А проведена плоскость а. Из конца В и точки С проведены параллельные прямые, которые пересекаются с плоскостью а в точках В1 и С1 соответственно. Дано, что длина отрезка BB1 равна 15 см, а отношение отрезков АВ1 и C1B1 равно 3:1.
2. Определение длины отрезка AВ1: Обозначим длину отрезка AВ1 как x. Тогда, согласно данному отношению, длина отрезка C1B1 будет равна x/3, так как AВ1 : C1B1 = 3 : 1.
3. Суммирование отрезков: Поскольку отрезки AВ1 и C1B1 вместе составляют отрезок CB1, можем записать следующее уравнение:
   • CB1 = AВ1 + C1B1 = x + x/3 = (3x + x) / 3 = 4x / 3.
4. Выражение длины отрезка CB1: Мы знаем, что длина отрезка BB1 равна 15 см. Поскольку В1 находится на отрезке CB1, мы можем записать:
   • CB1 = BB1 + C1B1 = 15 + x/3.
5. Составление уравнения: Теперь у нас есть два выражения для длины отрезка CB1:
   • CB1 = 4x / 3
   • CB1 = 15 + x/3
6. Решение уравнения: Приравняем оба выражения:
   • 4x / 3 = 15 + x / 3.
   Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дробей:
   • 4x = 45 + x.
   Теперь перенесем x на левую сторону:
   • 4x - x = 45
   • 3x = 45
   • x = 15.
7. Нахождение длины отрезка C1B1: Теперь, зная x, можем найти длину C1B1:
   • C1B1 = x / 3 = 15 / 3 = 5 см.
8. Нахождение длины отрезка CC1: Поскольку C1B1 = 5 см и отрезок CC1 совпадает с C1B1, то:
   • Длина отрезка CC1 = 5 см.

Ответ: Длина отрезка CC1 равна 5 см.