Чтобы найти площадь грани ABC тетраэдра DABC, давайте воспользуемся свойствами подобия фигур и соотношениями площадей сечений.

Из условия задачи известно, что через точку K на ребре AD проведено сечение, параллельное грани ABC, и площадь этого сечения равна 27. Также дано отношение отрезков AK и KD, равное 1:3. Это означает, что AK составляет 1/4 от общего отрезка AD, а KD — 3/4.

Теперь, поскольку сечение параллельно грани ABC, то оно является подобным этой грани. Поскольку отношение отрезков AK и KD равно 1:3, то отношение высот, проведенных из точки K на грань ABC, также будет равно 1:3. Таким образом, отношение площадей сечения и грани ABC будет равно квадрату этого отношения:

• Отношение высот: 1:3
• Отношение площадей: (1/4)^2 = 1/16

Обозначим площадь грани ABC через S. Тогда, согласно найденному соотношению, мы имеем:

S / 27 = 16

Теперь можем выразить площадь S:

S = 27 * 16

Посчитаем:

S = 432

Таким образом, площадь грани ABC равна 432.