Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1, где все ребра имеют одинаковую длину, обозначим длину ребра куба как a. Мы будем находить двугранные углы, используя векторы, исходящие из одной точки.

Для нахождения двугранного угла ABB1C, нам нужно определить векторы, которые образуют этот угол. Выберем точку B в качестве вершины угла.

• Вектор BA = A - B = (0, 0, a) - (0, a, a) = (0, -a, 0).
• Вектор BC = C - B = (a, a, a) - (0, a, a) = (a, 0, 0).
• Вектор BB1 = B1 - B = (0, a, 0) - (0, a, a) = (0, 0, -a).

Теперь мы можем найти угол между плоскостями, образованными этими векторами. Для этого используем векторное произведение:

• Вектор BA x BC = (0, -a, 0) x (a, 0, 0) = (0, 0, a^2).

Теперь найдем нормали к плоскостям:

• Нормаль к плоскости ABC: (0, 0, a^2).
• Нормаль к плоскости ABB1: (0, 0, -a).

Двугранный угол между плоскостями равен 90 градусов, так как нормали перпендикулярны.

Выберем точку D в качестве вершины угла.

• Вектор DA = A - D = (0, 0, a) - (0, a, 0) = (0, -a, a).
• Вектор DB = B - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a).
• Вектор DD1 = D1 - D = (0, a, a) - (0, a, 0) = (0, 0, a).

Теперь найдем угол между плоскостями:

• Вектор DA x DB = (0, -a, a) x (0, 0, a) = (a^2, 0, 0).

Нормали к плоскостям будут:

• Нормаль к плоскости ADB: (a^2, 0, 0).
• Нормаль к плоскости ADD1: (0, 0, a).

Эти нормали также перпендикулярны, следовательно, угол равен 90 градусов.

Сначала найдем координаты точки K. Поскольку K - середина ребра A1D1, его координаты будут:

• K = (0, a, a/2).

Теперь выберем точку B в качестве вершины угла:

• Вектор BA1 = A1 - B = (0, a, 0) - (0, a, a) = (0, 0, -a).
• Вектор BK = K - B = (0, a, a/2) - (0, a, a) = (0, 0, -a/2).
• Вектор BB1 = B1 - B = (0, a, 0) - (0, a, a) = (0, 0, -a).

Теперь найдем угол между плоскостями:

• Вектор BA1 x BK = (0, 0, -a) x (0, 0, -a/2) = (0, 0, 0).

Так как векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны, и угол между плоскостями равен 0 градусов.

Ответ:

• Двугранный угол ABB1C равен 90 градусов.
• Двугранный угол ADD1B равен 90 градусов.
• Двугранный угол A1BB1K равен 0 градусов.