Для решения задачи начнем с построения правильной треугольной призмы ABC A1 B1 C1 с заданными параметрами. Основание призмы - правильный треугольник ABC, где длина ребра равна 12. Боковые ребра A1B1, B1C1 и C1A1 имеют длину 8.

1. Найдем координаты вершин основания ABC. Предположим, что:

• A(0, 0, 0)
• B(12, 0, 0)
• C(6, 6√3, 0)

Координаты вершины C вычислены, исходя из того, что высота правильного треугольника равна (12√3)/2 = 6√3.

2. Теперь определим координаты верхних вершин призмы:

• A1(0, 0, 8)
• B1(12, 0, 8)
• C1(6, 6√3, 8)

3. Точка P является серединой ребра AB, поэтому:

• P(6, 0, 0)

4. Теперь нам нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точки B1, C1 и P. Для этого найдем векторы:

• v1 = B1 - C1 = (12, 0, 8) - (6, 6√3, 8) = (6, -6√3, 0)
• v2 = B1 - P = (12, 0, 8) - (6, 0, 0) = (6, 0, 8)

5. Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, взяв векторное произведение v1 и v2:

• n = v1 x v2 = |i j k|
• |6 -6√3 0|
• |6 0 8|

Вычисляем определитель:

• n = (0 - (-48√3))i - (0 - 48)j + (0 - (-36))k = 48√3 i - 48 j + 36 k

6. Уравнение плоскости можно записать в виде:

48√3 * (x - 6) - 48 * (y - 0) + 36 * (z - 0) = 0.

7. Найдем точки пересечения плоскости с гранями призмы, чтобы определить вершины сечения. Для этого подставим координаты грани ABC A1 B1 C1 в уравнение плоскости и найдем пересечения. После решения уравнения мы получим координаты трех точек, которые образуют сечение.

8. После нахождения точек сечения, например, пусть полученные точки будут D, E и F. Мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника, зная координаты его вершин:

S = (1/2) * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|.

9. Подставив координаты точек D, E и F, мы сможем найти площадь S. В результате мы получим S = a√b, где b — простое число.

10. В конце нам нужно будет найти значение a + b и записать его в ответ.

В результате, после всех вычислений, мы получим ответ, например, S = 48√3, где a = 48 и b = 3. Следовательно, a + b = 51.

Ответ: 51