Для решения задачи о нахождении площади боковой поверхности правильной пирамиды ABCD, где S - вершина пирамиды, а ABCD - основание, следуем следующим шагам:

Правильная пирамида имеет одинаковые боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками. Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам нужно знать высоту боковой грани. Высота боковой грани (h_b) может быть найдена через высоту пирамиды (h) и радиус описанной окружности основания (R).

Основание ABCD является квадратом, так как это правильная пирамида. Сторона квадрата равна AB = 18 см. Радиус описанной окружности квадрата можно найти по формуле:

• R = (a * sqrt(2)) / 2, где a - длина стороны квадрата.

Подставляем значение:

• R = (18 * sqrt(2)) / 2 = 9 * sqrt(2) см.

Теперь мы можем найти высоту боковой грани (h_b) с помощью теоремы Пифагора. В равнобедренном треугольнике высота (h_b) будет равна:

• h_b = sqrt(SO^2 + R^2), где SO - высота пирамиды, R - радиус описанной окружности.

Подставляем значения:

• h_b = sqrt(12^2 + (9 * sqrt(2))^2) = sqrt(144 + 162) = sqrt(306).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине периметра основания, умноженной на высоту боковой грани:

• S боков = (1/2) * P * h_b, где P - периметр основания.

Периметр квадрата ABCD равен:

• P = 4 * AB = 4 * 18 = 72 см.

Теперь подставим все значения:

• S боков = (1/2) * 72 * sqrt(306) = 36 * sqrt(306) см².

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной пирамиды ABCD составляет 36 * sqrt(306) см².