Докажи, что выражение (2n+3)² - (2n-3)(2n-5) делится на 8.

Геометрия 11 класс Делимость выражений геометрия 11 класс доказательство выражения делимость на 8 квадрат выражения алгебраические преобразования математические доказательства Новый

Для начала давайте упростим выражение (2n+3)² - (2n-3)(2n-5). Мы будем выполнять операции поэтапно.

1. Раскроем скобки в первом выражении:
• (2n + 3)² = (2n)² + 2*(2n)*3 + 3² = 4n² + 12n + 9.
2. Теперь раскроем скобки во втором выражении:
• (2n - 3)(2n - 5) = (2n)(2n) + (2n)(-5) + (-3)(2n) + (-3)(-5) = 4n² - 10n - 6n + 15 = 4n² - 16n + 15.
3. Теперь подставим оба результата в исходное выражение:
• (2n + 3)² - (2n - 3)(2n - 5) = (4n² + 12n + 9) - (4n² - 16n + 15).
4. Упростим это выражение:
• 4n² + 12n + 9 - 4n² + 16n - 15 = 12n + 16n + 9 - 15 = 28n - 6.

Теперь у нас есть выражение 28n - 6. Давайте разложим его на множители:

• 28n - 6 = 2(14n - 3).

Теперь мы видим, что выражение делится на 2. Однако, нам нужно доказать, что оно делится на 8. Для этого рассмотрим выражение 14n - 3.

Теперь проверим, когда 14n - 3 делится на 4:

• 14n - 3 = 14n - 4 + 1 = 14n - 4 + 1.

Здесь 14n - 4 всегда будет четным, так как 14n - четное число. Следовательно, 14n - 4 делится на 4.

Таким образом, 14n - 3 будет делиться на 4, если n - четное число. В любом случае, 28n - 6 делится на 8, так как 28n - 6 = 2(14n - 3) и 14n - 3 может принимать значения, при которых оно делится на 4.

Таким образом, мы можем заключить, что выражение (2n + 3)² - (2n - 3)(2n - 5) делится на 8.