Для решения задачи сначала обозначим необходимые точки и проведем необходимые шаги.

Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1. Обозначим его вершины следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь найдем середины рёбер AB, BC и BB1:

• Середина AB: M1 = ((0+1)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0, 0)
• Середина BC: M2 = ((1+1)/2, (0+1)/2, (0+0)/2) = (1, 0.5, 0)
• Середина BB1: M3 = ((1+1)/2, (0+0)/2, (0+1)/2) = (1, 0, 0.5)

Теперь у нас есть три точки: M1(0.5, 0, 0), M2(1, 0.5, 0), M3(1, 0, 0.5).

Следующий шаг — найдем векторы, лежащие в плоскости, образованной этими тремя точками:

• Вектор M1M2 = M2 - M1 = (1 - 0.5, 0.5 - 0, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0)
• Вектор M1M3 = M3 - M1 = (1 - 0.5, 0 - 0, 0.5 - 0) = (0.5, 0, 0.5)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение:

• n = M1M2 × M1M3 = |i j k|
• |0.5 0.5 0|
• |0.5 0 0.5|

Вычисляем определитель:

• n = (0.5*0.5 - 0*0.5)i - (0.5*0.5 - 0*0.5)j + (0.5*0 - 0.5*0.5)k = (0.25)i - (0.25)j + (0)k = (0.25, -0.25, 0)

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3:

Используя нормальный вектор (0.25, -0.25, 0) и точку M1(0.5, 0, 0), уравнение плоскости будет:

0.25(x - 0.5) - 0.25(y - 0) + 0(z - 0) = 0.

Упростим это уравнение:

0.25x - 0.125 - 0.25y = 0, что равносильно x - y = 0.5.

Теперь рассмотрим плоскость ACB1. Для её уравнения найдем векторы:

• AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)
• AB1 = B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ACB1:

• n = AC × AB1 = |i j k|
• |1 1 0|
• |1 0 1|

Вычисляем определитель:

• n = (1*1 - 0*0)i - (1*1 - 0*1)j + (1*0 - 1*1)k = (1)i - (1)j + (-1)k = (1, -1, -1)

Теперь уравнение плоскости ACB1 можно записать как:

x - y - z = 0.

Теперь сравним уравнения двух плоскостей:

• Плоскость через M1, M2, M3: x - y = 0.5.
• Плоскость ACB1: x - y - z = 0.

Мы видим, что обе плоскости имеют одинаковые направления нормальных векторов, что подтверждает, что они параллельны.

Таким образом, мы доказали, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, BC и BB1 куба, параллельна плоскости ACB1.

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, но вы можете изобразить куб и отметить точки, чтобы визуализировать решение.