Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите следующие утверждения:

1. а) если наклонные равны, то равны и их проекции;
2. б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные;
3. в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Геометрия 11 класс Проекции наклонных на плоскость геометрия 11 класс наклонные и проекции доказательства в геометрии свойства наклонных равенство наклонных и проекций Новый

Давайте рассмотрим каждое из утверждений по очереди и докажем их.

а) Если наклонные равны, то равны и их проекции.

Для начала обозначим наклонные, проведенные из точки A к плоскости, как AB и AC, где AB = AC. Проекции этих наклонных на плоскость обозначим как A'B' и A'C'.

Проекция наклонной на плоскость – это перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость. Поскольку наклонные равны по длине, и они опускаются на одну и ту же плоскость, то их проекции также будут равны. Это следует из того, что равные отрезки, опущенные на одну и ту же прямую (в данном случае на плоскость), имеют равные длины.

Таким образом, если наклонные равны, то их проекции также равны.

б) Если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

Теперь предположим, что проекции A'B' и A'C' равны, то есть A'B' = A'C'. Это означает, что длины отрезков, опущенных на плоскость, равны.

Однако, чтобы наклонные AB и AC были равны, необходимо учитывать также высоты, которые они образуют с плоскостью. Если проекции равны, но наклонные различаются по длине, то одна из наклонных будет «выше» другой, что приведет к различию в их длине. Следовательно, если проекции равны, то наклонные также должны быть равны.

Таким образом, если проекции наклонных равны, то и наклонные равны.

в) Если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть наклонные AB и AC не равны, и без потери общности предположим, что AB > AC. Мы должны показать, что проекция A'B' больше проекции A'C'.

Исходя из определения проекции, если одна наклонная длиннее другой, то и ее проекция на плоскость будет больше. Это связано с тем, что проекция наклонной зависит как от ее длины, так и от угла наклона к плоскости. При равных углах наклона, длина проекции прямо пропорциональна длине наклонной.

Таким образом, если наклонные не равны, то большая наклонная действительно имеет большую проекцию.

В итоге, все три утверждения верны и логически обоснованы.