Как можно определить угол между диагоналями АС и BD параллелограмма, если известны векторы АВ(0; 1,5; -1) и ВС(6; 10,5; 3) как смежные стороны?

Геометрия 11 класс Углы между диагоналями параллелограмма угол между диагоналями параллелограмм векторы смежные стороны геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти угол между диагоналями АС и BD параллелограмма, нам нужно сначала определить векторы этих диагоналей. Мы знаем, что векторы АВ и ВС являются смежными сторонами параллелограмма. Давайте обозначим:

• AВ = (0; 1.5; -1)
• ВС = (6; 10.5; 3)

Сначала найдем координаты вершин параллелограмма. Обозначим:

• A = (0; 0; 0) (мы можем взять точку A в начале координат)
• B = A + AВ = (0 + 0; 0 + 1.5; 0 - 1) = (0; 1.5; -1)
• C = B + ВС = (0 + 6; 1.5 + 10.5; -1 + 3) = (6; 12; 2)
• D = A + ВС = (0 + 6; 0 + 10.5; 0 + 3) = (6; 10.5; 3)

Теперь у нас есть координаты всех четырех вершин параллелограмма:

• A(0; 0; 0)
• B(0; 1.5; -1)
• C(6; 12; 2)
• D(6; 10.5; 3)

Теперь найдем векторы диагоналей АС и BD:

• Вектор АС = C - A = (6 - 0; 12 - 0; 2 - 0) = (6; 12; 2)
• Вектор BD = D - B = (6 - 0; 10.5 - 1.5; 3 - (-1)) = (6; 9; 4)

Теперь у нас есть векторы диагоналей:

• АС = (6; 12; 2)
• BD = (6; 9; 4)

Чтобы найти угол между двумя векторами, используем формулу:

cos(θ) = (AС · BD) / (|АС| * |BD|),

где "·" - скалярное произведение векторов, а "|" - длина вектора.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение AС и BD:

• AС · BD = 6 * 6 + 12 * 9 + 2 * 4 = 36 + 108 + 8 = 152.

Шаг 2: Найдем длины векторов:

• |АС| = √(6² + 12² + 2²) = √(36 + 144 + 4) = √184.
• |BD| = √(6² + 9² + 4²) = √(36 + 81 + 16) = √133.

Шаг 3: Подставим значения в формулу:

cos(θ) = 152 / (√184 * √133).

Теперь, чтобы найти угол θ, нам нужно взять арккосинус:

θ = arccos(152 / (√184 * √133)).

Таким образом, мы можем найти угол между диагоналями АС и BD параллелограмма, подставив значения в формулу и вычислив результат.