Чтобы найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, нам нужно знать размеры его сторон. Давайте обозначим стороны основания параллелепипеда как a и b, а высоту как h.

1. Находим стороны основания:

• Сначала воспользуемся информацией о диагонали основания. Диагональ d основания прямоугольного параллелепипеда можно вычислить по формуле:
• d = √(a² + b²).
• По условию задачи, d = √65. Следовательно, у нас есть уравнение:
• √(a² + b²) = √65.
• Квадратируем обе стороны: a² + b² = 65.

2. Находим высоту:

• Теперь рассмотрим диагонали боковых граней. Диагональ одной из боковых граней (где высота h) равна √(a² + h²), а другой - √(b² + h²).
• По условию задачи, одна диагональ равна 4√5 см, а другая - √17 см. Таким образом, у нас есть два уравнения:
• √(a² + h²) = 4√5 и √(b² + h²) = √17.
• Квадратируем обе стороны этих уравнений:
• a² + h² = 80 и b² + h² = 17.
• Теперь мы можем выразить h² из каждого уравнения:
• h² = 80 - a² и h² = 17 - b².
• Приравняем эти два выражения:
• 80 - a² = 17 - b².
• Переносим все в одну сторону:
• a² - b² = 63.
• Теперь у нас есть система уравнений:
• 1) a² + b² = 65
• 2) a² - b² = 63

3. Решаем систему уравнений:

• Сложим два уравнения:
• (a² + b²) + (a² - b²) = 65 + 63
• 2a² = 128
• a² = 64, следовательно, a = 8.
• Теперь подставим a в первое уравнение:
• 8² + b² = 65
• 64 + b² = 65
• b² = 1, следовательно, b = 1.

4. Находим высоту:

• Теперь подставим a и b в одно из уравнений для h²:
• h² = 80 - a² = 80 - 64 = 16, следовательно, h = 4.

5. Находим площадь боковой поверхности:

• Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле:
• Площадь = 2h(a + b).
• Теперь подставим найденные значения:
• Площадь = 2 * 4 * (8 + 1) = 8 * 9 = 72 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 72 см².