Как найти уравнение касательной к эллипсу x^2/30+y^2/24=1, которая будет параллельна прямой 4x-2y+7=0?

Геометрия 11 класс Касательные к кривым второго порядка Уравнение касательной эллипс параллельная прямая 4x-2y+7=0 геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти уравнение касательной к эллипсу, параллельной заданной прямой, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем угол наклона заданной прямой

Уравнение прямой 4x - 2y + 7 = 0 можно переписать в виде:

2y = 4x + 7

y = 2x + 3.5

Угловой коэффициент этой прямой равен 2.

Шаг 2: Найдем производную эллипса

Уравнение эллипса имеет вид:

x^2/30 + y^2/24 = 1.

Чтобы найти производную, воспользуемся неявным дифференцированием:

1. Дифференцируем левую часть уравнения по x:
2. (1/30) * 2x + (1/24) * 2y * (dy/dx) = 0.

Упрощая, получаем:

x/15 + (y/12) * (dy/dx) = 0.

Отсюда:

(dy/dx) = - (x/15) / (y/12) = - (4x) / (5y).

Шаг 3: Найдем точки касания

Касательная к эллипсу должна иметь такой же угловой коэффициент, как и заданная прямая, то есть:

- (4x) / (5y) = 2.

Переписываем уравнение:

1. 4x = -10y
2. y = - (2/5)x.

Шаг 4: Подставим y в уравнение эллипса

Теперь подставим найденное значение y в уравнение эллипса:

x^2/30 + ((-2/5)x)^2 / 24 = 1.

Упрощаем:

x^2/30 + (4/25)x^2 / 24 = 1.

Объединим дроби:

(1/30)x^2 + (1/150)x^2 = 1.

(5/150)x^2 + (1/150)x^2 = 1.

(6/150)x^2 = 1.

x^2 = 25.

Следовательно, x = 5 или x = -5.

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y

Теперь находим y для x = 5 и x = -5:

1. Для x = 5:

y = - (2/5) * 5 = -2.

2. Для x = -5:

y = - (2/5) * (-5) = 2.

Шаг 6: Запишем уравнения касательных

Теперь у нас есть две точки касания: (5, -2) и (-5, 2).

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - точка касания, m - угловой коэффициент.

Касательная в точке (5, -2):

y + 2 = 2(x - 5),

y = 2x - 10 - 2,

y = 2x - 12.

Касательная в точке (-5, 2):

y - 2 = 2(x + 5),

y - 2 = 2x + 10,

y = 2x + 12.

Ответ:

Уравнения касательных к эллипсу:

• y = 2x - 12
• y = 2x + 12