Как определить синус угла между прямой B1M и плоскостью боковой грани ABB1A1, если точка M является серединой стороны BC основания ABC правильной призмы ABCA1B1C1? Известно, что боковое ребро призмы равно корень из 39, а сторона основания составляет 12. Прошу объяснить подробно и с рисунком.

Геометрия 11 класс Углы между прямой и плоскостью синус угла прямая и плоскость правильная призма боковое ребро сторона основания геометрия 11 класс определение синуса точка M боковая грань основание ABC Новый

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно определить угол между прямой B1M и плоскостью боковой грани ABB1A1. Для этого нам необходимо знать координаты точек, а также использовать свойства правильной призмы.

Шаг 1: Определение координат точек

Правильная призма имеет прямоугольное основание ABC и боковые ребра, которые перпендикулярны основанию. В данной задаче основание ABC является равносторонним треугольником со стороной 12.

• Пусть A(0, 0, 0)
• B(12, 0, 0)
• C(6, 6√3, 0)
• A1(0, 0, √39)
• B1(12, 0, √39)
• C1(6, 6√3, √39)

Теперь найдем координаты точки M, которая является серединой стороны BC:

• M = (B + C) / 2 = ((12 + 6)/2, (0 + 6√3)/2, 0) = (9, 3√3, 0)

Шаг 2: Определение векторов

Теперь определим вектор B1M и вектор, перпендикулярный плоскости боковой грани ABB1A1.

• Вектор B1M = M - B1 = (9 - 12, 3√3 - 0, 0 - √39) = (-3, 3√3, -√39)

Для определения нормали к плоскости ABB1A1 найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор AB = B - A = (12 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (12, 0, 0)
• Вектор A1B1 = B1 - A1 = (12 - 0, 0 - 0, √39 - √39) = (12, 0, 0)

Оба вектора параллельны и имеют одинаковое направление. Для нахождения нормали к плоскости мы можем взять вектор AB и вектор A1B1, но так как они совпадают, мы можем взять вектор, перпендикулярный к ним. Это может быть, например, вектор (0, 12, 0) или (0, 0, 12).

Шаг 3: Нормализация вектора

Нормализуем вектор, чтобы получить единичный вектор нормали:

• Нормаль N = (0, 0, 1) (можем выбрать любой вектор, перпендикулярный основанию)

Шаг 4: Вычисление угла

Теперь мы можем использовать скалярное произведение для нахождения угла между вектором B1M и нормалью N:

Скалярное произведение:

• B1M • N = (-3, 3√3, -√39) • (0, 0, 1) = -√39

Далее найдем длины векторов:

• |B1M| = √((-3)² + (3√3)² + (-√39)²) = √(9 + 27 + 39) = √75 = 5√3
• |N| = 1 (поскольку это единичный вектор)

Шаг 5: Вычисление синуса угла

Синус угла между вектором и нормалью можно найти по формуле:

sin(θ) = |B1M • N| / (|B1M| * |N|)

• sin(θ) = |-√39| / (5√3 * 1) = √39 / (5√3)

Таким образом, синус угла между прямой B1M и плоскостью боковой грани ABB1A1 равен √39 / (5√3).