Чтобы решить неравенство √(x² - 1) (4 - x) log₃(3x) > 0 методом интервалов, следуем нескольким шагам:

1. Определяем область определения:
   • Для √(x² - 1) необходимо, чтобы x² - 1 ≥ 0, что дает x ≤ -1 или x ≥ 1.
   • Для log₃(3x) необходимо, чтобы 3x > 0, то есть x > 0.
   • Таким образом, область определения: x ≥ 1.
2. Находим нули каждого множителя:
   • Для √(x² - 1) = 0 → x² - 1 = 0 → x = ±1.
   • Для 4 - x = 0 → x = 4.
   • Для log₃(3x) = 0 → 3x = 1 → x = 1/3 (но это значение не подходит, так как x ≥ 1).
3. Собираем все критические точки:
   • Критические точки: x = 1 и x = 4.
4. Строим числовую прямую и выделяем интервалы:
   • Интервалы: (1, 4) и (4, +∞).
5. Тестируем каждый интервал:
   • Для интервала (1, 4) (например, x = 2):
     • √(2² - 1) = √3 > 0,
     • 4 - 2 = 2 > 0,
     • log₃(3 * 2) = log₃(6) > 0.
     • Произведение положительное: √(x² - 1)(4 - x)log₃(3x) > 0.
   • Для интервала (4, +∞) (например, x = 5):
     • √(5² - 1) = √24 > 0,
     • 4 - 5 = -1 < 0,
     • log₃(3 * 5) = log₃(15) > 0.
     • Произведение отрицательное: √(x² - 1)(4 - x)log₃(3x) < 0.
6. Записываем ответ:
   • Неравенство выполняется в интервале (1, 4).

Таким образом, решение неравенства √(x² - 1)(4 - x) log₃(3x) > 0 будет: (1, 4).