Как составить уравнение прямой, которая будет параллельна прямой y = -3x + 10 и пройдет через центр круга, заданного уравнением x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0?

Геометрия 11 класс Уравнения прямых и окружностей уравнение прямой параллельная прямая центр круга геометрия 11 класс уравнение круга Новый

Для того чтобы составить уравнение прямой, которая будет параллельна данной прямой и пройдет через центр круга, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти центр круга.

Уравнение круга задано в общем виде: x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0. Для того чтобы найти центр круга, нужно привести это уравнение к каноническому виду (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра, а r - радиус.

Сначала сгруппируем x и y:

x^2 + 2x + y^2 - 4y + 1 = 0.

Теперь выделим полный квадрат для x и y:

• Для x: x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1.
• Для y: y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4.

Теперь подставим выделенные квадраты обратно в уравнение:

(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 1 = 0.

Упрощаем:

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0.

Переносим -4 на правую сторону:

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4.

Теперь видно, что центр круга находится в точке (-1, 2), а радиус равен 2.

Шаг 2: Определить угол наклона прямой.

Прямая, параллельная данной, будет иметь такой же коэффициент наклона. В уравнении y = -3x + 10 коэффициент наклона равен -3. Это значит, что уравнение искомой прямой будет иметь вид:

y = -3x + b,

где b - свободный член, который мы определим, подставив координаты центра круга.

Шаг 3: Подставить координаты центра круга.

Центр круга имеет координаты (-1, 2). Подставим эти значения в уравнение:

2 = -3*(-1) + b.

Решим это уравнение:

2 = 3 + b.

Следовательно, b = 2 - 3 = -1.

Шаг 4: Записать окончательное уравнение.

Теперь, подставив значение b, мы можем записать уравнение искомой прямой:

y = -3x - 1.

Таким образом, уравнение прямой, которая параллельна прямой y = -3x + 10 и проходит через центр круга, будет:

y = -3x - 1.