Для нахождения длины ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если нам известна площадь сечения, проходящего через точки B₁, D₁ и C, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определим координаты вершин куба:
   • A(0, 0, 0)
   • B(1, 0, 0)
   • C(1, 1, 0)
   • D(0, 1, 0)
   • A₁(0, 0, 1)
   • B₁(1, 0, 1)
   • C₁(1, 1, 1)
   • D₁(0, 1, 1)
2. Определим координаты точек сечения:
   • B₁(1, 0, 1)
   • D₁(0, 1, 1)
   • C(1, 1, 0)
3. Найдем векторы, образующие стороны треугольника B₁D₁C:
   • Вектор B₁D₁: D₁ - B₁ = (0, 1, 1) - (1, 0, 1) = (-1, 1, 0)
   • Вектор B₁C: C - B₁ = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)
4. Найдем нормальный вектор к плоскости, содержащей треугольник B₁D₁C:
   • Нормальный вектор N = B₁D₁ × B₁C = |i j k|
   • | -1 1 0 |
   • | 0 1 -1 |
   • Вычисляем: N = (1, 1, 1)
5. Найдем длину нормального вектора:
   • |N| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3)
6. Найдем площадь треугольника B₁D₁C:
   • Площадь = 0.5 * |B₁D₁| * |B₁C| * sin(угол между векторами)
   • Площадь = 0.5 * |B₁D₁| * |B₁C| * (|N| / (|B₁D₁| * |B₁C|)) = 0.5 * |N|.
7. Подставим известную площадь сечения:
   • 6√3 = 0.5 * sqrt(3) * (a²)
   • 12√3 = sqrt(3) * (a²)
   • 12 = a²
   • a = sqrt(12) = 2√3.

Ответ: Длина ребра куба равна 2√3 см.