Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства подобных треугольников и формулы для вычисления площади прямоугольного треугольника.

1. Найдем площадь большего прямоугольного треугольника с катетом 12 см.

Два подобных треугольника имеют площади, относящиеся как 4:1. Это означает, что если площадь меньшего треугольника равна S1, то площадь большего треугольника S2 будет равна 4S1.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = (a * b) / 2,

где a и b - длины катетов.

Поскольку в обоих треугольниках один катет равен 12 см, обозначим второй катет меньшего треугольника как b1, а второго треугольника как b2. Тогда:

• Площадь меньшего треугольника: S1 = (12 * b1) / 2 = 6b1.
• Площадь большего треугольника: S2 = (12 * b2) / 2 = 6b2.

Из условия задачи мы знаем, что S2 = 4S1, то есть:

6b2 = 4 * (6b1).

Упрощая, получаем:

b2 = 4b1.

Таким образом, длина второго катета большего треугольника в 4 раза больше второго катета меньшего треугольника.

Теперь, чтобы найти площадь большего треугольника, нам нужно знать b1. Однако, так как b1 может быть любым положительным числом, мы можем выразить площадь большего треугольника через b1:

S2 = 6b2 = 6 * (4b1) = 24b1.

Таким образом, площадь большего треугольника зависит от b1, но мы можем сказать, что площадь большего треугольника будет в 4 раза больше площади меньшего.

2. Найдем гипотенузу большего прямоугольного треугольника с катетом 2,4 см.

Теперь у нас есть два похожих треугольника, где площади относятся как 9:16. Это означает, что если площадь меньшего треугольника S1, то площадь большего S2 = (16/9) * S1.

Обозначим второй катет меньшего треугольника как b1, а второго треугольника как b2. Поскольку один катет равен 2,4 см, то:

• S1 = (2,4 * b1) / 2 = 1,2b1.
• S2 = (2,4 * b2) / 2 = 1,2b2.

Из условия S2 = (16/9) * S1, подставляем:

1,2b2 = (16/9) * (1,2b1).

Упрощая, получаем:

b2 = (16/9) * b1.

Теперь, чтобы найти гипотенузу большего треугольника, используем теорему Пифагора:

c = sqrt(a^2 + b^2),

где c - гипотенуза, a - один катет, b - второй катет.

Подставляем значения:

Гипотенуза меньшего треугольника:

c1 = sqrt(2,4^2 + b1^2).

Гипотенуза большего треугольника:

c2 = sqrt(2,4^2 + b2^2) = sqrt(2,4^2 + (16/9 * b1)^2).

Таким образом, мы можем выразить гипотенузу большего треугольника через b1. Однако, так как b1 может быть любым положительным числом, мы не можем найти конкретное значение гипотенузы без дополнительной информации о b1.

В итоге, мы нашли, что площадь большего прямоугольного треугольника с катетом 12 см будет в 4 раза больше площади меньшего, а гипотенуза большего треугольника с катетом 2,4 см может быть найдена, если известен второй катет меньшего треугольника.