Похожие вопросы
2025-10-31 23:31:36
Какова площадь плоской фигуры, ограниченной следующими линиями:
- y = cosx, y = sinx, x = π/4, x = π/2;
- y = 2cosx, y = 2sinx, x = 0, x = π/4;
- y = x, y = 1/x², x = 2;
- y = 2/x², y = 2x, x = 1/2.
Геометрия 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь плоской фигуры геометрия 11 класс интегралы косинус синус линии ограниченные линии математические задачи площадь фигур решение задач по геометрии Новый
2025-10-31 23:32:13
Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно рассмотреть каждую из фигур по отдельности и вычислить их площади. Мы будем использовать интегралы для нахождения площадей между кривыми.
1. Первая фигура: y = cos(x), y = sin(x), x = π/4, x = π/2Для нахождения площади между кривыми y = cos(x) и y = sin(x) на интервале от x = π/4 до x = π/2, сначала определим, какая из функций больше в этом интервале.
- На x = π/4: cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.
- На x = π/2: cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1.
Таким образом, в интервале от π/4 до π/2, sin(x) > cos(x).
Площадь S1 вычисляется по формуле:
S1 = ∫(π/4)^(π/2) (sin(x) - cos(x)) dx.
Теперь найдем интеграл:
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C.
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C.
Теперь подставим пределы:
S1 = [-cos(x) - sin(x)] | (π/4)^(π/2) = [(-cos(π/2) - sin(π/2)) - (-cos(π/4) - sin(π/4))]
S1 = [0 - 1] - [-√2/2 - √2/2] = -1 + √2 = √2 - 1.
2. Вторая фигура: y = 2cos(x), y = 2sin(x), x = 0, x = π/4Аналогично, здесь мы также определим, какая функция больше на интервале от 0 до π/4.
- На x = 0: 2cos(0) = 2 и 2sin(0) = 0.
- На x = π/4: 2cos(π/4) = √2 и 2sin(π/4) = √2.
Таким образом, на интервале от 0 до π/4, 2cos(x) > 2sin(x).
Площадь S2 вычисляется по формуле:
S2 = ∫(0)^(π/4) (2cos(x) - 2sin(x)) dx.
Интегрируем:
S2 = 2[-sin(x) - cos(x)] | (0)^(π/4) = 2[(-sin(π/4) - cos(π/4)) - (-sin(0) - cos(0))]
S2 = 2[-√2/2 - √2/2 + 1] = 2[1 - √2] = 2 - 2√2.
3. Третья фигура: y = x, y = 1/x², x = 2Найдем, какая функция больше на интервале от 1 до 2:
- На x = 1: y = 1 и y = 1.
- На x = 2: y = 2 и y = 1/4.
Таким образом, y = x > 1/x² на интервале от 1 до 2.
Площадь S3 вычисляется по формуле:
S3 = ∫(1)^(2) (x - 1/x²) dx.
Интегрируем:
S3 = [x²/2 + 1/x] | (1)^(2) = [(2²/2 + 1/2) - (1/2 + 1)] = [2 + 0.5 - 0.5 - 1] = 2 - 1 = 1.
4. Четвертая фигура: y = 2/x², y = 2x, x = 1/2Определим, какая функция больше на интервале от 1/2 до 1:
- На x = 1/2: y = 8 и y = 1.
- На x = 1: y = 2 и y = 2.
Таким образом, y = 2/x² > 2x на интервале от 1/2 до 1.
Площадь S4 вычисляется по формуле:
S4 = ∫(1/2)^(1) (2/x² - 2x) dx.
Интегрируем:
S4 = [(-2/x) - x²] | (1/2)^(1) = [(-2 - 1) - (-4 - 1/4)] = [-3 + 4.25] = 1.25.
Общая площадь:Теперь суммируем все площади:
Общая площадь = S1 + S2 + S3 + S4 = (√2 - 1) + (2 - 2√2) + 1 + 1.25.
Общая площадь = 3.25 - √2.
Таким образом, площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 3.25 - √2.