Какова площадь сферы и объём шара, если через точку на поверхности сферы проведено сечение радиусом 3 см под углом 60 градусов к радиусу сферы, проведённому в эту точку?

Геометрия 11 класс Сфера и шар площадь сферы объем шара сечение радиусом угол 60 градусов геометрия 11 класс Новый

Для решения задачи сначала определим радиус сферы, а затем найдем площадь сферы и объем шара.

1. Найдем радиус сферы. Сечение, проведенное через точку на поверхности сферы, образует круг. Радиус этого круга равен 3 см. Угол между радиусом сферы и радиусом круга составляет 60 градусов.

Используя тригонометрию, мы можем выразить радиус сферы (R) через радиус круга (r) и угол (α):

• r = R * sin(α), где α = 60 градусов.

Известно, что sin(60 градусов) = √3 / 2. Подставим значения:

• 3 = R * (√3 / 2)

Теперь выразим R:

• R = 3 / (√3 / 2) = 3 * (2 / √3) = 6 / √3 = 2√3 см.

2. Теперь найдем площадь сферы. Площадь сферы вычисляется по формуле:

• S = 4 * π * R².

Подставим значение радиуса:

• S = 4 * π * (2√3)² = 4 * π * 12 = 48π см².

3. Теперь найдем объем шара. Объем шара вычисляется по формуле:

• V = (4/3) * π * R³.

Подставим значение радиуса:

• V = (4/3) * π * (2√3)³ = (4/3) * π * 24√3 = 32√3π / 3 см³.

Итак, мы нашли:

• Площадь сферы: 48π см²;
• Объем шара: 32√3π / 3 см³.