Для решения данной задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и некоторые формулы, связанные с его геометрией.

Обозначим:

• a - длина стороны основания (так как основание является квадратом, все стороны равны);
• h - высота параллелепипеда;
• d - диагональ параллелепипеда, равная 7 см;
• d_b - диагональ боковой грани, равная 5 см.

Сначала найдем, что такое диагональ боковой грани. Боковая грань - это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте h, а другая - стороне основания a. Поэтому диагональ боковой грани можно выразить через теорему Пифагора:

d_b = √(a² + h²).

Подставим известное значение диагонали боковой грани:

5 = √(a² + h²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

25 = a² + h².

Теперь у нас есть первое уравнение. Далее, используя диагональ всего параллелепипеда, мы можем записать еще одно уравнение:

d = √(a² + a² + h²) = √(2a² + h²).

Подставим известное значение диагонали параллелепипеда:

7 = √(2a² + h²).

Возводим обе стороны в квадрат:

49 = 2a² + h².

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 25 = a² + h² (1)
2. 49 = 2a² + h² (2)

Теперь выразим h² из уравнения (1):

h² = 25 - a².

Подставим это значение в уравнение (2):

49 = 2a² + (25 - a²).

Упростим уравнение:

49 = 2a² + 25 - a²

49 = a² + 25

24 = a²

a = √24 = 2√6.

Теперь подставим значение a² обратно в уравнение (1) для нахождения h²:

h² = 25 - 24 = 1.

Таким образом, h = √1 = 1 см.

Итак, высота прямоугольного параллелепипеда равна 1 см.