Для решения данной задачи начнем с определения всех элементов, связанных с прямоугольной трапецией ABCD, используя заданные координаты вершин. У нас есть три вершины: A(-9, 4), B(10, 10) и C(18, 12). Поскольку BC || AD и угол при вершине D равен 90º, мы можем найти координаты точки D.

Шаг 1: Найдем координаты точки D.

Поскольку угол при D прямой, это означает, что отрезок AD перпендикулярен отрезку AB. Чтобы найти координаты точки D, мы можем использовать свойства параллельных линий и перпендикуляров. Мы знаем, что:

• Сторона AD будет вертикальной, так как угол D равен 90º.
• Следовательно, D будет находиться на одной вертикали с A.

Таким образом, координаты точки D могут быть определены по X-координате точки A, и Y-координата будет равна Y-координате точки B, так как BC и AD параллельны. Таким образом, D(-9, 10).

Шаг 2: Найдем уравнение стороны l (CD).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки C(18, 12) и D(-9, 10), нам нужно найти наклон (угловой коэффициент) этой прямой:

• m = (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = (10 - 12) / (-9 - 18) = -2 / -27 = 2/27.

Теперь, зная наклон и одну из точек (например, C), можем использовать уравнение прямой в виде y - y1 = m(x - x1):

y - 12 = (2/27)(x - 18).

Приведем уравнение к стандартному виду:

y = (2/27)x + 12 - (36/27) = (2/27)x + 108/27 - 36/27 = (2/27)x + 72/27.

Шаг 3: Найдем уравнение диагонали d (AC).

Аналогично, для отрезка AC, где A(-9, 4) и C(18, 12):

• m = (12 - 4) / (18 + 9) = 8 / 27.

Уравнение будет:

y - 4 = (8/27)(x + 9).

Приведем к стандартному виду:

y = (8/27)x + 4 + (72/27) = (8/27)x + 108/27 - 108/27 = (8/27)x + 36/27.

Шаг 4: Найдем длину высоты.

Высота h является расстоянием между параллельными прямыми AD и BC. Для этого нам нужно найти расстояние от точки B до линии AD. Уравнение линии AD: x = -9. Расстояние от точки B(10, 10) до линии x = -9:

• h = |xB - xAD| = |10 - (-9)| = 19.

Шаг 5: Найдем угол между высотой и диагональю d.

Чтобы найти угол между высотой и диагональю, мы можем использовать тангенс угла между двумя прямыми. У нас есть угловые коэффициенты:

• m1 (высота, вертикальная) = ∞,
• m2 (диагональ AC) = 8/27.

Угол θ можно найти, используя формулу:

tan(θ) = |(m2 - m1) / (1 + m1*m2)| = |(8/27 - ∞) / (1 + ∞)|, что указывает на угол 90º.

Итак, подведем итог:

• Координаты D: D(-9, 10)
• Уравнение стороны l (CD): y = (2/27)x + 72/27
• Уравнение диагонали d (AC): y = (8/27)x + 36/27
• Длина высоты h: 19
• Угол между высотой и диагональю d: 90º