Для нахождения периметра треугольника, расположенного в пространстве, нужно сначала вычислить длины его сторон. Стороны треугольника определяются расстоянием между его вершинами. В нашем случае вершины треугольника находятся в точках A(2;5;4), B(5;4;2) и C(4;2;5).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) — координаты двух точек.

Теперь найдем длины сторон треугольника:

1. Длина стороны AB:

Координаты точек A и B: A(2;5;4) и B(5;4;2).

Подставим в формулу:

D_AB = √((5 - 2)² + (4 - 5)² + (2 - 4)²) = √(3² + (-1)² + (-2)²) = √(9 + 1 + 4) = √14.

2. Длина стороны BC:

Координаты точек B и C: B(5;4;2) и C(4;2;5).

Подставим в формулу:

D_BC = √((4 - 5)² + (2 - 4)² + (5 - 2)²) = √((-1)² + (-2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14.

3. Длина стороны CA:

Координаты точек C и A: C(4;2;5) и A(2;5;4).

Подставим в формулу:

D_CA = √((2 - 4)² + (5 - 2)² + (4 - 5)²) = √((-2)² + 3² + (-1)²) = √(4 + 9 + 1) = √14.

Теперь у нас есть длины всех сторон:

• D_AB = √14
• D_BC = √14
• D_CA = √14

Периметр треугольника P можно найти, сложив длины всех сторон:

P = D_AB + D_BC + D_CA = √14 + √14 + √14 = 3√14.

Таким образом, периметр треугольника ABC равен 3√14.