Для решения задачи начнем с анализа данных, которые нам даны:

• Квадрат ABCD, где стороны равны, и обозначим длину стороны квадрата как a.
• Прямоугольный треугольник SBC, где угол B равен 90 градусов.
• Даны равенства: sd = 2ab = 2sb = 10.

Из равенства 2ab = 10 мы можем выразить a:

1. Разделим обе стороны на 2: ab = 5.
2. Поскольку квадрат имеет равные стороны, можно записать: a^2 = 5, следовательно, a = √5.

Теперь найдем длину стороны sb. Из равенства 2sb = 10 получаем:

1. sb = 10 / 2 = 5.

Теперь у нас есть размеры квадрата и стороны треугольника. Далее, чтобы найти угол между плоскостями квадрата и треугольника, воспользуемся векторным методом.

Сначала определим координаты точек квадрата ABCD:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0) = (√5, 0, 0)
• C(a, a, 0) = (√5, √5, 0)
• D(0, a, 0) = (0, √5, 0)

Теперь определим координаты точки S. Поскольку треугольник SBC является прямоугольным, мы можем взять S на высоте над плоскостью ABCD. Пусть S(√5, √5, h), где h - высота треугольника.

Теперь найдем векторы, лежащие в плоскостях квадрата и треугольника:

• Векторы плоскости ABCD: AB = (√5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (√5, 0, 0) и AD = (0, √5, 0) - (0, 0, 0) = (0, √5, 0).
• Вектор нормали к плоскости ABCD (плоскости квадрата) можно найти как векторное произведение AB и AD: N1 = AB × AD = (√5, 0, 0) × (0, √5, 0) = (0, 0, 5).

Теперь найдем векторы плоскости SBC:

• SB = S - B = (√5, √5, h) - (√5, 0, 0) = (0, √5, h).
• BC = C - B = (√5, √5, 0) - (√5, 0, 0) = (0, √5, 0).

Вектор нормали к плоскости SBC можно найти так же:

• N2 = SB × BC = (0, √5, h) × (0, √5, 0) = (√5 * 0 - h * √5, 0 - 0, 0) = (h√5, 0, 0).

Теперь мы можем найти угол между плоскостями, используя скалярное произведение векторов нормалей:

Косинус угла между нормалями N1 и N2 можно найти по формуле:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|).

Подставим значения:

• N1 = (0, 0, 5)
• N2 = (h√5, 0, 0)

Скалярное произведение N1 • N2 = 0 * (h√5) + 0 * 0 + 5 * 0 = 0.

Модуль векторов:

• |N1| = √(0^2 + 0^2 + 5^2) = 5,
• |N2| = √((h√5)^2 + 0^2 + 0^2) = h√5.

Подставляем в формулу:

cos(θ) = 0 / (5 * h√5) = 0.

Это означает, что угол θ = 90 градусов. Таким образом, угол между плоскостями квадрата ABCD и треугольника SBC равен: