Можете, пожалуйста, помочь решить следующие неравенства:

1. (x - 3)(2 + x) >= 0
2. (x + 3)(2 - x) >= 0
3. x ^ 2 - x - 2 >= 0
4. x ^ 2 - 2x >= 0

Очень нужно, спасибо!

Геометрия 11 класс Неравенства и их решения неравенства решение неравенств геометрия 11 класс математические неравенства алгебраические неравенства Новый

Конечно, давайте решим каждое из этих неравенств по очереди. Я подробно объясню шаги решения.

1. Неравенство (x - 3)(2 + x) >= 0

Первым шагом мы найдем корни неравенства, приравняв каждую скобку к нулю:

• x - 3 = 0 → x = 3
• 2 + x = 0 → x = -2

Теперь мы имеем два корня: x = -2 и x = 3. Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -2)
• [-2, 3]
• (3, +∞)

Теперь проверим знак произведения (x - 3)(2 + x) на каждом из этих интервалов:

• Для x < -2 (например, x = -3): (-3 - 3)(2 - 3) = (-6)(-1) > 0
• Для -2 < x < 3 (например, x = 0): (0 - 3)(2 + 0) = (-3)(2) < 0
• Для x > 3 (например, x = 4): (4 - 3)(2 + 4) = (1)(6) > 0

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -2] и [3, +∞).

2. Неравенство (x + 3)(2 - x) >= 0

Сначала найдем корни:

• x + 3 = 0 → x = -3
• 2 - x = 0 → x = 2

Теперь у нас есть корни x = -3 и x = 2, которые делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -3)
• [-3, 2]
• (2, +∞)

Проверим знак произведения (x + 3)(2 - x):

• Для x < -3 (например, x = -4): (-4 + 3)(2 + 4) = (-1)(6) < 0
• Для -3 < x < 2 (например, x = 0): (0 + 3)(2 - 0) = (3)(2) > 0
• Для x > 2 (например, x = 3): (3 + 3)(2 - 3) = (6)(-1) < 0

Неравенство выполняется на интервале [-3, 2].

3. Неравенство x^2 - x - 2 >= 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 - x - 2 = 0. Используем формулу корней:

• x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± 3) / 2

Это дает корни x = 2 и x = -1. Теперь проверим знаки на интервалах:

• (-∞, -1)
• [-1, 2]
• (2, +∞)

Проверим знак многочлена:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)^2 - (-2) - 2 = 2 > 0
• Для -1 < x < 2 (например, x = 0): 0^2 - 0 - 2 = -2 < 0
• Для x > 2 (например, x = 3): 3^2 - 3 - 2 = 4 > 0

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (-∞, -1] и [2, +∞).

4. Неравенство x^2 - 2x >= 0

Сначала найдем корни уравнения x^2 - 2x = 0:

• x(x - 2) = 0 → x = 0 и x = 2

Теперь у нас есть корни x = 0 и x = 2, которые делят числовую прямую на три интервала:

• (-∞, 0)
• [0, 2]
• (2, +∞)

Проверим знак многочлена:

• Для x < 0 (например, x = -1): (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 > 0
• Для 0 < x < 2 (например, x = 1): 1^2 - 2(1) = 1 - 2 < 0
• Для x > 2 (например, x = 3): 3^2 - 2(3) = 9 - 6 > 0

Неравенство выполняется на интервалах (-∞, 0] и [2, +∞).

Итак, мы рассмотрели все неравенства и нашли решения для каждого из них:

• (x - 3)(2 + x) >= 0: (-∞, -2] ∪ [3, +∞)
• (x + 3)(2 - x) >= 0: [-3, 2]
• x^2 - x - 2 >= 0: (-∞, -1] ∪ [2, +∞)
• x^2 - 2x >= 0: (-∞, 0] ∪ [2, +∞)