Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим высоту призмы.

В правильной треугольной призме боковая поверхность состоит из трех прямоугольников, каждый из которых имеет одну сторону равную высоте призмы, а другую сторону равную стороне основания треугольника.

В данном случае, у нас есть информация о длине ломаной CBC1, которая равна 9 * √2. Поскольку точки C, B и C1 находятся на одной ломаной, это означает, что отрезок BC1 является высотой призмы.

Шаг 2: Найдем высоту призмы.

Так как C1 находится непосредственно над C, а B находится на одной линии с C и C1, мы можем использовать длину ломаной CBC1 для определения высоты призмы. Поскольку C и C1 находятся на одной вертикали, длина отрезка BC1 равна длине отрезка BC, который является высотой.

Таким образом, высота призмы (h) равна 9.

Шаг 3: Найдем сторону основания треугольника.

Поскольку призма правильная, стороны основания равны. Обозначим сторону основания треугольника как a. Мы знаем, что длина CBC1 составляет 9 * √2, что также может быть интерпретировано как длина диагонали бокового прямоугольника, где одна сторона равна высоте (h = 9) и другая сторона равна стороне основания (a).

Используя теорему Пифагора, получаем:

1. h^2 + a^2 = (9 * √2)^2
2. 9^2 + a^2 = 162
3. 81 + a^2 = 162
4. a^2 = 162 - 81
5. a^2 = 81
6. a = 9

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы рассчитывается по формуле:

Площадь боковой поверхности = Периметр основания * Высота призмы.

Периметр основания треугольника равен 3 * a, так как у нас правильный треугольник:

Периметр = 3 * 9 = 27.

Теперь подставим значения в формулу:

Площадь боковой поверхности = 27 * 9 = 243.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы составляет 243 квадратных единицы.